欢迎来到我的博客捏
一个不认真学物理的物理人。
高数学习一本通（持续更新）
一、函数 极限 连续 1.函数 定义 设 xxx 和 yyy 是两个变量，DDD 是一个给定的数集．如果对于每个数 x∈Dx \in Dx∈D ，变量 xxx 按照一定的法则总有一个确定的数值 yyy 和它对应，则称 yyy 是 xxx 的函数，记为 y=f(x),x∈Dy=f(x), x \in D y=f(x),x∈D 其中 xxx 称为自变量，yyy 称为因变量，DDD 称为函数的定义域，记作 DfD_fDf ，即 Df=DD_f=DDf=D ． 函数值 f(x)f(x)f(x) 的全体所构成的集合称为函数 fff 的值域，记作 RfR_fRf 或 f(D)f(D)f(D) ，即 Rf=f(D)={y∣y=f(x),x∈D}R_f=f(D)=\{y \mid y=f(x), x \in D\} Rf=f(D)={y∣y=f(x),x∈D} Eg. 已知 f(x+1)f(x+1)f(x+1) 的定义域为 [0,a](a>0)[0, a](a>0)[0,a](a>0) ，则 f(x)f(x)f(x) 的定义域为 由...
球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法
一、分离变量 球坐标系下拉普拉斯方程的展开形式为 1r2∂∂r(r2∂u∂r)+1r2sinθ∂∂θ(sinθ∂u∂θ)+1r2sin2θ∂2u∂φ2=0\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}=0 r21∂r∂(r2∂r∂u)+r2sinθ1∂θ∂(sinθ∂θ∂u)+r2sin2θ1∂φ2∂2u=0 设 u(r,θ,φ)=R(r)Y(θ,φ)u(r, \theta, \varphi)=R(r) Y(\theta,...
数值计算方法之插值方法的Python实现
本系列将不加解释地给出各自数值计算方法的Python实现，旨在方便开卷考时的快速查找。本文是插值方法部分。 1.线性插值 12345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667import numpy as npdef linear_interpolation(x_points, y_points, x_target): """ 线性插值算法。 参数： x_points (list or np.ndarray): 已知点的x坐标列表 y_points (list or np.ndarray): 已知点的y坐标列表 x_target (float or np.ndarray): 需要插值的目标x坐标 返回： float or np.ndarray: 对应的插值结果 ...
热力学 部分习题
一、热力学定律 (1)试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 证明： 假设在P-V图中两条绝热先交于C点，设想一等温线与两条绝热线分别交于A点和B点，因为等温线斜率小于绝热线斜率，这样的 等温线总是存在。则在循环ABCA中，气体在等温过程AB中从外界吸取热量Q，在循环过程中对外做功W，其数值等于三条线所围的面积。循环过程完成后，系统回到原来的状态，根据热力学第一定律，有W=Q，这样一来，系统在上述循环过程中就从单一热源吸热并将之完全转化为功了，这就违背了热力学第二定律的开尔文说法，这是不可能的。因此两条绝热线不可能相交。 (2)一摩尔范式气体满足状态方程 p=RTV−b−aV2p=\frac{R T}{V-b}-\frac{a}{V^2}p=V−bRT−V2a, 如果它的内能由 u=cT−aVu=c T-\frac{a}{V}u=cT−Va （ V 为摩尔体积， a 为状态方程常数之一， c 为常数）给出，计算摩尔比热 cVc_VcV 和 cpc_pcp...
不可逆过程热力学简介
本文是《热力学与统计物理》第五章内容 这里就是热力学的最后了，下一章就要进入统计力学部分。 五、不可逆过程热力学简介 5.1 局域平衡 熵流密度与局域熵产生率 5.2 线性与非线性过程 昂萨格关系 5.1 局域平衡 熵流密度与局域熵产生率 可逆过程 = 准静（平衡）且 无耗散 不可逆过程 = 非平衡 或 有耗散 关于不可逆过程： 从平衡态热力学只能得到非常有限的信息。例如，可以根据热力学函数的不等式判断过程的方向（比如ΔS>0）； 如果不可逆过程的初态和终态都是平衡态，可以通过初态和终态热力学函数之间的关系求得整个过程的总效应； 在不可逆性不是过程本质特征的情形下可以将过程近似地当作可逆过程处理，等等。 自然界中存在大量的不可逆过程，例如热传导、扩散等输运过程，化学反应过程，乃至生命过程，等等； 在不可逆过程中系统经历一系列的非平衡态； 将热力学方法推广到非平衡的情形，对不可逆过程本身进行研究无疑是重要和有意义的。 可以将 dS⩾dQTd S \geqslant \frac{d Q}{T}dS⩾TdQ 推广为下述等式 dS=deS+diSd S=d_e...
多元系的复相平衡和化学平衡 热力学第三定律
本文是《热力学与统计物理》第四章内容 四、多元系的复相平衡和化学平衡 热力学第三定律 4.1多元系的热力学函数和热力学方程 4.2 多元系的复相平衡条件 4.3 吉布斯相律 4.5 化学平衡条件 4.6 混合理想气体的性质 4.8 热力学第三定律 4.1多元系的热力学函数和热力学方程 （1）基本概念 多元系：是指含有两种或两种以上化学组分的系统。例如：含有氧气、一氧化碳和二氧化碳的混合气体是一个三元系，盐的水溶液，金和银的合金都是二元系。 多元系可以是均匀系，也可以是复相系。例如：含有氧、一氧化碳和二氧化碳的混合气体是均匀系，盐的水溶液和水蒸气共存是二元二相系，金银合金的固相和液相共存也是二元二相系。 在多元系中既可以发生相变，也可以发生化学变化。 （2）热力学函数 只考虑均匀系（单相系或复相系中的一相）: 选 T,p,n1,n2,…nkT, p, n_1, n_2, …n_kT,p,n1,n2,…nk...
单元系的相变
本文是《热力学与统计物理》第三章内容 三、单元系的相变 3.0 热动平衡的条件 3.1 热动平衡判据 3.2 开系的热力学基本方程 3.3 单元系的复相平衡条件 3.4 单元复相系的平衡性质 3.5 临界点和气液两相的转变 3.7 相变的分类 3.9 朗道连续相变理论 3.0 热动平衡的条件 弛豫机理: 分子之间的碰撞 分子与器壁之间的作用 3.1 热动平衡判据 热平衡的判据（热动平衡条件） （1）基本平衡判据 熵判据：孤立系统平衡态是熵最大的态。 相对于平衡态的虚变动后的态的熵变小。 孤立系统处在稳定平衡状态的必要充分条件: ΔS<0\Delta S < 0ΔS<0 变分展开式：ΔS=δS+12!δ2S+13!δ3S+⋯\Delta S=\delta S+\frac{1}{2!} \delta^2 S+\frac{1}{3!} \delta^3 S+\cdotsΔS=δS+2!1δ2S+3!1δ3S+⋯ 平衡条件：δS=0\delta S = 0δS=0 (是变分，不是微分)。 稳定平衡： δ2S<0\delta^2...
幂法计算矩阵的特征值与特征向量
本文介绍一种简单有效的计算矩阵特征值与特征向量的近似值的方法——幂法。 主要参考《数值计算方法与算法》，《数值方法：设计、分析和算法实现 》 一、幂法基本方法 在实际问题中, 矩阵的按模最大特征值往往起更重要的作用. 例如: 矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征值的值, 决定了迭代矩阵是否收敛。因此, 矩阵的按模最大的特征值比其余的特征值的地位更加重要. 幂法是计算矩阵按模最大特征值及相应的特征向量的数值方法. 简单地说，任取初始向量 X(0)X^{(0)}X(0) ，进行迭代计算 X(k+1)=AX(k)X^{(k+1)}=A X^{(k)} X(k+1)=AX(k) 得到迭代序列 {X(k)}\left\{X^{(k)}\right\}{X(k)}, 分析 X(k+1)X^{(k+1)}X(k+1) 与 X(k)X^{(k)}X(k) 之间的关系, 得到 AAA 的按模最大特征值及特征向量的近似解. 在幂法中, 假设矩阵 AAA 有特征值 λi,i=1,2,⋯ ,n\lambda_i, i=1,2, \cdots, nλi,i=1,2,⋯,n,...
连带拉盖尔方程的导出
一、由氢原子核外电子满足的薛定谔方程导出径向方程 氢原子核外电子满足的薛定谔方程（含时） iℏ∂Ψ(r,t)∂t=(−ℏ22μe∇2−e2r)Ψ(r,t)i \hbar \frac{\partial \Psi(\boldsymbol{r}, t)}{\partial t}=\left(-\frac{\hbar^2}{2 \mu_e} \nabla^2-\frac{e^2}{r}\right) \Psi(\boldsymbol{r}, t) iℏ∂t∂Ψ(r,t)=(−2μeℏ2∇2−re2)Ψ(r,t) 设 Ψ(r,t)=ψ(r)T(t)\Psi(\boldsymbol{r}, t)=\psi(\boldsymbol{r}) T(t)Ψ(r,t)=ψ(r)T(t), 代入上述方程,可得： (−ℏ22μe∇2−e2r)ψ(r)=Eψ(r)T′(t)+iℏET(t)=0\begin{aligned} & \left(-\frac{\hbar^2}{2 \mu_e} \nabla^2-\frac{e^2}{r}\right)...