球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量法

一、分离变量

球坐标系下拉普拉斯方程的展开形式为

$$\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2 \sin ^2 \theta} \frac{\partial^2 u}{\partial \varphi^2}=0$$

设 $u(r, \theta, \varphi)=R(r) Y(\theta, \varphi)$, 代入上式, 可得

$$\frac{Y}{r^2} \frac{d}{d r}\left(r^2 \frac{d R}{d r}\right)+\frac{R}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}\right)+\frac{R}{r^2 \sin ^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2}=0$$

方程两边同乘以 $r^2 / Y R$, 整理可得

$$\frac{1}{R} \frac{d}{d r}\left(r^2 \frac{d R}{d r}\right)=-\frac{1}{Y \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial Y}{\partial \theta}\right)-\frac{1}{Y \sin ^2 \theta} \frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2}=\lambda$$

欧拉方程:

$$\frac{d}{d r}\left[r^2 \frac{d R(r)}{d r}\right]-\lambda R(r)=0$$

球谐函数方程:

令 $Y(\theta, \varphi)=\Theta(\theta) \Phi(\varphi)$, 代入球谐函数方程

$$\frac{\Phi}{\sin \theta} \frac{d}{d \theta}\left(\sin \theta \frac{d \Theta}{d \theta}\right)+\frac{\Theta}{\sin ^2 \theta} \frac{d^2 \Phi}{d \varphi^2}+\lambda \Theta \Phi=0$$

方程两边同乘以 $\frac{\sin ^2 \theta}{\Theta \Phi}$, 整理可得

$$\frac{\sin \theta}{\Theta} \frac{d}{d \theta}\left(\sin \theta \frac{d \Theta}{d \theta}\right)+\lambda \sin ^2 \theta=-\frac{1}{\Phi} \frac{d^2 \Phi}{d \varphi^2}=\mu$$

最终, $\nabla^2 u(r, \theta, \varphi)=0$ 分离为三个二阶常微分方程:

$\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\varphi})$ 的方程: $\quad \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d \varphi^2}+\mu \Phi(\varphi)=0, \quad 0 \leq \varphi \leq 2 \pi$

$\boldsymbol{\Theta}(\theta)$ 的方程: $\quad \sin \theta \frac{d}{d \theta}\left[\sin \theta \frac{d \Theta(\theta)}{d \theta}\right]+\left(\lambda \sin ^2 \theta-\mu\right) \Theta(\theta)=0$

欧拉方程: $\quad \frac{d}{d r}\left[r^2 \frac{d R(r)}{d r}\right]-\lambda R(r)=0$

二、欧拉方程

欧拉方程的通解为：

$$R(r)=C_l r^l+\frac{D_l}{r^{l+1}}, \quad l=0,1,2, \cdots$$

三、$\Phi(\varphi)$ 本征方程

构成本征问题

$$\left\{\begin{array}{l} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d \varphi^2}+\mu \Phi(\varphi)=0, \mu \text { 任意常数 } \\ \Phi(0)=\Phi(2 \pi), \Phi^{\prime}(0)=\Phi^{\prime}(2 \pi) \end{array}\right.$$

(1)当 $\mu > 0$ 时，设 $\mu = m^2$

本征值: $\quad \mu=m^2$
本征函数: $\quad \Phi_m(\varphi)=C_m \cos m \varphi+D_m \sin m \varphi, \quad m=1,2,3, \cdots$

(2)当 $\mu = 0$ 时

本征值: $\quad \mu=0$
本征函数: $\quad \Phi_0(\varphi)=C$

(3)当 $\mu < 0$ 时，设 $\mu = -m^2$

不满足周期性边界条件

综上，将第（1）种情况和第（2）种情况合并，本征值和本征函数分别为

$$\mu=m^2 ; \quad \Phi_m(\varphi)=A_m \cos m \varphi+B_m \sin m \varphi, \quad m=0,1,2, \cdots$$

由 $\cos m \varphi$ 和 $\sin m \varphi$ 构成完备的本征函数系：

$$\{1, \cos \varphi, \cos 2 \varphi, \cdots ; \sin \varphi, \sin 2 \varphi, \sin 3 \varphi, \cdots\}$$

也可以写成复数形式

$$\Phi_m(\varphi)=C_m e^{i m \varphi}, m=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$$

由 $e^{i m \varphi}$ 构成完备的本征函数系

$$\left\{1, e^{i \varphi}, e^{-i \varphi}, e^{i 2 \varphi}, e^{-i 2 \varphi}, \cdots\right\}$$

需要注意的是，由于要保证本征函数系内不同的本征函数都是线性无关的，因此，
本征函数解写成三角函数形式和指数函数形式时，参数 $m$ 的取值范围并不相同。

四、$\Theta(\theta)$ 本征方程

$$\sin \theta \frac{d}{d \theta}\left[\sin \theta \frac{d \Theta(\theta)}{d \theta}\right]+\left(\lambda \sin ^2 \theta-\mu\right) \Theta(\theta)=0, \quad 0 \leq \theta \leq \pi$$

将 $\mu=m^2$ 代入上式, 并令 $x=\cos \theta, y(x)=\Theta(\theta)$, 可得连带勒让德方程

$$\frac{d}{d x}\left[\left(1-x^2\right) \frac{d y(x)}{d x}\right]+\left(\lambda-\frac{m^2}{1-x^2}\right) y(x)=0, \quad-1 \leq x \leq 1$$

当 $m=0$ 时, 连带勒让德方程退化为勒让德方程

$$\frac{d}{d x}\left[\left(1-x^2\right) \frac{d y(x)}{d x}\right]+\lambda y(x)=0, \quad-1 \leq x \leq 1$$