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一、函数 极限 连续

1.函数

定义 设 $x$ 和 $y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的数集．如果对于每个数 $x \in D$ ，变量 $x$ 按照一定的法则总有一个确定的数值 $y$ 和它对应，则称 $y$ 是 $x$ 的函数，记为

$$y=f(x), x \in D$$

其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，$D$ 称为函数的定义域，记作 $D_f$ ，即 $D_f=D$ ．

函数值 $f(x)$ 的全体所构成的集合称为函数 $f$ 的值域，记作 $R_f$ 或 $f(D)$ ，即

$$R_f=f(D)=\{y \mid y=f(x), x \in D\}$$

Eg.

已知 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0, a](a>0)$ ，则 $f(x)$ 的定义域为

由 $f(x+1)$ 的定义域为 $[0, a]$ 知 $0 \leqslant x \leqslant a$ ，则

$$1 \leqslant x+1 \leqslant a+1$$

故 $f(x)$ 的定义域为 $[1, a+1]$ ．

反三角函数

$arcsin \ x$ 单调递增 定义域 $[-1,1]$ 值域 $[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}]$

$arccos \ x$ 单调递减 定义域 $[-1,1]$ 值域 $[0,\pi]$

$arctan \ x$ 单调递增 定义域 $[-\infty,+\infty]$ 值域 $[-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{2}]$

反三角函数恒等式

(1) $\arctan x+\arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2}$,

(2) $\arctan x+\arctan \frac{1-x}{1+x}=\frac{\pi}{4}$,

(3) $\arctan x+\arctan \frac{x+1}{x-1}=\frac{3 \pi}{4}$.

2.极限

数列极限
定义 如果对于任意给定的 $\varepsilon>0$ ，总存在正整数 $N$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$ 成立，则称常数 $a$ 为数列 $\left\{x_n\right\}$ 当 $n$ 趋于无穷时的极限，记为 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ．

函数极限
定义 若对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，总存在 $X>0$ ，当$x>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \rightarrow+\infty$ 时的极限，记为 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．

定义 若对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，总存在 $X>0$ ，当 $x<-X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \rightarrow-\infty$ 时的极限，记为 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=A$ ．

定义 若对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，总存在 $X>0$ ，当 $|x|>X$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$ ，则称常数 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \rightarrow \infty$ 时的极限，记为 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ ．

这里的 $x \rightarrow \infty$ 是指 $|x| \rightarrow+\infty$ ，而数列极限中的 $n \rightarrow \infty$ 是指 $n \rightarrow+\infty$ ．

定理 极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在的充要条件是极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 及 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在并且相等．

定义 若对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，总存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<$ $\varepsilon$ ，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的极限，记为 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ ．

定义 若对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，总存在 $\delta>0$ ，当 $x_0-\delta<x<x_0$ 时，恒有 $|f(x)-A|<$ $\varepsilon$ ，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的左极限，记为

$$\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=A, or f\left(x_0^{-}\right)=A, or f\left(x_0-0\right)=A .$$

定义 若对任意给定的 $\varepsilon>0$ ，总存在 $\delta>0$ ，当 $x_0<x<x_0+\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<$ $\varepsilon$ ，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限，记为

$$\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=A,orf\left(x_0^{+}\right)=A ,or f\left(x_0+0\right)=A .$$

定理 极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的充要条件是左极限 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)$ 及右极限 $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)$ 存在并且相等．

极限的性质 : 有界性，保号性

夹B定理 ：若存在 $N$ ，当 $n>N$ 时，$x_n \leqslant y_n \leqslant z_n$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} z_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n=a$ ．

单调有界准则：适用于数列、递推的情形

无穷小量
定义 若函数 $f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$（或 $x \rightarrow \infty$ ）时的极限为零，则称 $f(x)$ 为 $x \rightarrow x_0$（或 $x \rightarrow \infty$ ）时的无穷小量．

设 $\lim \alpha(x)=0, \lim \beta(x)=0$ ，且 $\beta(x) \neq 0$ ．

（1）高阶：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=0$ ，记为 $\alpha(x)=o(\beta(x))$ ．

（2）低阶：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty$ ．

（3）同阶：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C \neq 0$ ．

（4）等价：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1$ ，记为 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ ．

（5）无穷小的阶：若 $\lim \frac{\alpha(x)}{[\beta(x)]^k}=C \neq 0$ ，则称 $\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的 $k$ 阶无穷小．

无穷大量与无界变量的关系

（1）数列 $\left\{x_n\right\}$ 是无穷大量．$\forall M>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n\right|>M$ ．

（2）数列 $\left\{x_n\right\}$ 是无界变量．$\forall M>0, \exists N>0$ ，使 $\left|x_N\right|>M$ ．

由以上两个定义不难看出无穷大量必为无界变量，而无界变量不一定是无穷大量．

无穷大量与无穷小量的关系

在同一极限过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小；反之，如果 $f(x)$ 是无穷小，且 $f(x) \neq 0$ ，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大．

若$f(x) \equiv 0$ ，是 $x \rightarrow x_0$ 时的无穷小量，但 $\frac{1}{f(x)}$ 无意义，所以不是无穷大量．

求极限

（1）利用经典极限

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1, \quad \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}, \quad \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}, \quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x}=\ln a, \\ & \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0) .\end{aligned}$

Eg.

$$\begin{aligned} \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x & =\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{x-a}\right)^x\left(\frac{x}{x+b}\right)^x \\ & =\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{a}{x}\right)^{-x}\left(1+\frac{b}{x}\right)^{-x} \\ & =\mathrm{e}^a \cdot \mathrm{e}^{-b}=\mathrm{e}^{a-b} \end{aligned}$$

(2) 利用等价无穷小或taylor展开

(1) $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+(-1)^{m-1} \frac{x^{2 m-1}}{(2 m-1)!}+o\left(x^{2 m}\right)$

(2) $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+(-1)^m \frac{x^{2 m}}{(2 m)!}+o\left(x^{2 m+1}\right)$;

(3) $\tan x=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+o\left(x^6\right)$;

(4) $\arcsin x=x+\frac{1}{6} x^3+\frac{3}{40} x^5+o\left(x^6\right)$;

(5) $\arctan x=x-\frac{1}{3} x^3+\frac{1}{5} x^5+\cdots+\frac{(-1)^{m-1}}{2 m-1} x^{2 m-1}+o\left(x^{2 m}\right)$;

(6) $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$;

(7) $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o\left(x^n\right)$;

(8) $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2+\cdots+(-1)^n x^n+o\left(x^n\right)$;

(9) $\ln (1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$;

(10) $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$;

(11) $(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n+o\left(x^n\right)$;

(12) $\frac{1}{\sqrt{1-x}}=1+\frac{1}{2} x+\frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} x^2+\cdots+\frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^n+o\left(x^n\right)$.

(13) $(1+x)^{\frac{1}{x}}=e-\frac{e x}{2}+\frac{11 e x^2}{24}+o\left(x^3\right)$

此式由（10）式可以很容易地得到

有 $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{3} x^3-\frac{1}{4} x^4+o\left(x^4\right)$

则 $\frac{1}{x} \cdot \ln (1+x)=1-\frac{1}{2} x+\frac{1}{3} x^2-\frac{1}{4} x^3+o\left(x^3\right)$

为方便计算，记 $t=\frac{1}{x} \cdot \ln (1+x)-1=-\frac{1}{2} x+\frac{1}{3} x^2-\frac{1}{4} x^3+o\left(x^3\right)$

则

$$(1+x)^{\frac{1}{x}}=e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)}=e^{t+1}=e \cdot e^t=e\left(1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6}+o\left(t^3\right)\right)$$

（3）利用Lagrange中值定理

Eg.

$$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\frac{1}{x} \ln (1+x)}-e}{x} \xlongequal{\text { 拉格朗日中值定理 }} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\xi}\left[\frac{1}{x} \ln (1+x)-1\right]}{x} \\ & =e \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x} \ln (1+x)-1}{x}=e \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-x}{x^2}=e \lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{1}{2} x^2}{x^2}=-\frac{e}{2} . \end{aligned}$$

（4）利用有理运算法则

若 $\lim f(x)=A, \lim g(x)=B$ ．那么：

$$\begin{aligned} & \lim [f(x) \pm g(x)]=\lim f(x) \pm \lim g(x)=A \pm B . \\ & \lim [f(x) g(x)]=\lim f(x) \cdot \lim g(x)=A B . \\ & \lim \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B \neq 0) . \end{aligned}$$

（5）利用洛必达(大部分时候不如泰勒)

若
（1） $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=0(\infty)$ ．

（2）$f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内可导，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ．

（3） $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ 存在（或 $\infty$ ）．
则 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$ ．

数列和极限的求解

常用方法：夹逼定理 定积分定义 数列求和

Eg.

1. 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)$ ．

由于 $\frac{n^2}{n^2+n} \leqslant\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right) \leqslant \frac{n^2}{n^2+1}$ ，

且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{n^2+n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^2}{n^2+1}=1$ ，则

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)=1$ ．

2. 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)$ ．

$$\begin{aligned} & \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right) \\ = & \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+\left(\frac{1}{n}\right)^2}+\frac{1}{1+\left(\frac{2}{n}\right)^2}+\cdots+\frac{1}{1+\left(\frac{n}{n}\right)^2}\right) \\ = & \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{4} . \end{aligned}$$

当变化部分的最大值与其主体部分相比较是次量级就用夹逼原理，而当变化部分的最大值与其主体部分相比较是同量级就用定积分定义．

递推关系数列极限的求解

法1 先证数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛（常用单调有界准则），然后令 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=A$ ，等式 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$ 两端取极限得 $A=f(A)$ ，由此求得极限 $A$ ．

法2 先令 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=A$ ，然后等式 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$ 两端取极限解得 $A$ ，得到极限初步结果，最后再证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=A$ ．

一般来说，当数列 $\left\{x_n\right\}$ 具有单调性时用法1 ，而当数列 $\left\{x_n\right\}$ 不具有单调性或单调性很难判定时用法2 ．

Eg.

1.设 $x_1=2, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_n}(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．

令 $f(x)=2+\frac{1}{x}$ ，则 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$ ，显然 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调减少，故 $\left\{x_n\right\}$ 不具有单调性，因此用方法2．

令 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2+\frac{1}{x_n}\right)$ ，即 $a=2+\frac{1}{a}$ ，解得 $a=1 \pm \sqrt{2}$ ．
由题设知 $x_n \geqslant 2$ ，故由极限的保号性知，$a \geqslant 2$ ，从而 $a=1+\sqrt{2}$ ．以下证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=1+\sqrt{2}$ ．

$$\begin{aligned} \left|x_n-a\right| & =\left|\left(2+\frac{1}{x_{n-1}}\right)-\left(2+\frac{1}{a}\right)\right|=\left|\frac{x_{n-1}-a}{a x_{n-1}}\right| \leqslant \frac{\left|x_{n-1}-a\right|}{2 a} \leqslant \frac{\left|x_{n-1}-a\right|}{2} \\ & \leqslant \frac{\left|x_{n-2}-a\right|}{2^2} \leqslant \cdots \leqslant \frac{\left|x_1-a\right|}{2^{n-1}} \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty) . \end{aligned}$$

2.设 $f(x)$ 可微，且 $0<f^{\prime}(x) \leqslant \frac{1}{2+x^2}$ ，数列 $x_0=\mathrm{A}, x_n=f\left(x_{n-1}\right), n=1,2, \cdots$ ．证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在且是方程 $f(x)=x$ 的唯一实根。

法一 由于 $f^{\prime}(x)>0$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调，又

$$\begin{aligned} \left|x_n\right| & =\left|f\left(x_{n-1}\right)\right|=\left|f\left(x_0\right)+\int_{x_0}^{x_{n-1}} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right| \\ & \leqslant\left|f\left(x_0\right)\right|+\left|\int_{x_0}^{x_{n-1}} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\right| \\ & \leqslant\left|f\left(x_0\right)\right|+\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{2+x^2} . \end{aligned}$$

这里反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{2+x^2}$ 收敛，则 $\left\{x_n\right\}$ 有界，从而极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在．
设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ ，则 $a=f(a)$ 。
又设 $\varphi(x)=x-f(x)$ ，则 $\varphi^{\prime}(x)=1-f^{\prime}(x)>0, \varphi(x)$ 单调增加，$a$ 是方程 $x=f(x)$ 的唯一实根．

法二 证明级数收敛

$$\begin{aligned} \left|x_n-x_{n-1}\right| & =\left|f\left(x_{n-1}\right)-f\left(x_{n-2}\right)\right| \\ & =\left|f^{\prime}\left(\xi_{n-1}\right)\right|\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right| \\ & \leqslant \frac{1}{2}\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right| \leqslant \cdots \leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left|x_1-x_0\right| . \end{aligned}$$

（拉格朗日定理）

由于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_n-x_{n-1}\right)$ 收敛，从而极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在．下同方法一．

3.函数的连续性

间断点的分类

左，右极限都存在的间断点称为第一类间断点．其中左，右极限都存在且相等的间断点称为可去间断点，左，右极限都存在但不相等的间断点称为跳跃间断点．

左，右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点．其中若 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\infty$ 或 $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\infty$ ，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的无穷间断点．

函数 $y=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处没定义，且左，右极限都不存在，这是由于当 $x \rightarrow 0$ 时，其函数值在 -1 与 1 之间无穷多次振荡，故称点 $x=0$ 为函数 $\sin \frac{1}{x}$ 的振荡间断点．

二、导数与微分

1.导数与微分的概念

定理 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是它在该点处左导数与右导数都存在且相等。

定义（区间上可导及导函数）如果 $y=f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 内每一点都可导，则称 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导．此时对于 $(a, b)$ 内的每一点 $x$ ，都对应一个导数值 $f^{\prime}(x)$ ，常称 $f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的导函数，简称为导数．若 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f_{+}^{\prime}(a)$ 和 $f_{-}^{\prime}(b)$ 都存在，则称 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导．

定义 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，如果函数的增量 $\Delta y=$ $f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ 可以表示为

$$\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x),(\Delta x \rightarrow 0)$$

其中 $A$ 为不依赖于 $\Delta x$ 的常数，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，称 $A \Delta x$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$处相应于自变量增量 $\Delta x$ 的微分，记为 $\mathrm{d} y=A \Delta x$ ．

定理 函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的充分必要条件是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且有

$$\mathrm{d} y=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \mathrm{d} x$$

在点 $x$ 处，常记 $\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ ．

导数及其原函数的关联性质

连续且可导的函数，其导函数不一定连续，因为也可能含有振荡间断点。

比如下面这个常见的函数：

$$\begin{aligned} & f(x)= \begin{cases}x^n \sin (1 / x), x \neq 0, & (n>1) \\ 0, x=0 .\end{cases} \\ & f^{\prime}(x)= \begin{cases}n x^{n-1} \sin (1 / x)-x^{n-2} \cos (1 / x), x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{cases} \end{aligned}$$

可见，虽然大多数可导函数的导函数是连续函数，但有些特殊的函数，比如某些原本含有振荡间断点的函数，在该振荡间断点被赋予定义之后，成为连续且可导的函数。尽管如此，其导函数也可能依旧不连续。值得一提的是，即使为函数再加上单调的条件，即导函数恒正或者恒负，导函数仍有可能不连续，且具有振荡间断点。

$f(x)$ 可导 与$|f(x)|$ 可导关系性

1．$f(x)$ 可导 与$|f(x)|$ 可导无关．反例分别是 $f(x)=x$ 和 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-1, & x<0, \\ 1, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$

2．设 $f(x)$ 连续，
若 $f\left(x_0\right) \neq 0$ ，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导 $\Leftrightarrow f(x)$ 在 $x_0$ 处可导；
若 $f\left(x_0\right)=0$ ，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导 $\Leftrightarrow f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ．

则有设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件皆可得出$f(x)$在$x=0$处可导
（1） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在；

（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在；

（3） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在；

（4） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在；

2.导数公式及求导法则

略

3.高阶导数

(1) $(\sin x)^{(n)}=\sin \left(x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$.
(2) $(\cos x)^{(n)}=\cos \left(x+n \cdot \frac{\pi}{2}\right)$.
(3) $(u \pm v)^{(n)}=u^{(n)} \pm v^{(n)}$.
(4) $(u v)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$.

4.曲线

1．曲率的定义

$$K=\lim _{\Delta s \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta \alpha}{\Delta s}\right| .$$

2．曲率的计算
（1）若曲线由直角坐标方程 $y=y(x)$ 给出，则

$$K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}} .$$

（2）若曲线由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right.$ 给出，则

$$K=\frac{\left|y^{\prime \prime} x^{\prime}-y^{\prime} x^{\prime \prime}\right|}{\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$

3．曲率圆与曲率半径
曲率半径 $R=\frac{1}{K}$ ．

三、微分中值定理

定理（罗尔定理）如果 $f(x)$ 满足以下条件：
（1）在闭区间 $[a, b]$ 上连续，

（2）在开区间 $(a, b)$ 内可导，

（3）$f(a)=f(b)$ ，
则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．

定理（拉格朗日中值定理）如果 $f(x)$ 满足以下条件：
（1）在闭区间 $[a, b]$ 上连续，

（2）在开区间 $(a, b)$ 内可导，
则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得

$$f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a)$$

推论 如果在 $(a, b)$ 内恒有 $f^{\prime}(x)=0$ ，则在 $(a, b)$ 内 $f(x)$ 为常数．

定理（柯西中值定理）如果 $f(x), F(x)$ 满足以下条件：
（1）在闭区间 $[a, b]$ 上连续，

（2）在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $F^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内每一点处均不为零，则在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得

$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{F^{\prime}(\xi)}$$

求解微分中值定理有关的证明题

题型1 证明存在一个点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $F\left[\xi, f(\xi), f^{\prime}(\xi)\right]=0$

此类问题的一般方法是将要证结论改写为 $F\left[\xi, f(\xi), f^{\prime}(\xi)\right]=0$ ，然后构造辅助函数用罗尔定理。而构造辅助函数的方法主要有两种（就是常数变易法）：

1．分析法（还原法）
根据对欲证的结论 $F\left[\xi, f(\xi), f^{\prime}(\xi)\right]=0$ 的分析，确定辅助函数 $g(x)$ ，使

$$g^{\prime}(x)=F\left[x, f(x), f^{\prime}(x)\right]$$

2．微分方程法
欲证：$F\left[\xi, f(\xi), f^{\prime}(\xi)\right]=0$ ，
（1）求微分方程 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的通解 $H(x, y)=C$ ；
（2）设辅助函数：$g(x)=H(x, f(x))$ ．

题型2 证明存在两个中值点 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使 $F\left[\xi, \eta, f(\xi), f(\eta), f^{\prime}(\xi), f^{\prime}(\eta)\right]=0$

（1）不要求 $\xi \neq \eta$
在同一区间 $[a, b]$ 上用两次中值定理（拉格朗日，柯西中值定理）．

（2）要求 $\xi \neq \eta$
将区间 $[a, b]$ 分为两个子区间，在两个子区间上分别用拉格朗日中值定理．

Eg.

1. 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 内可导，且 $a, b$ 同号，试证存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)$ $=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ．

由拉格朗日中值定理知存在 $\xi \in(a, b)$ ，使

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\xi)$$

由柯西中值定理知，存在 $\eta \in(a, b)$ 使

$$\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}=\frac{f^{\prime}(\eta)}{2 \eta}$$

从而有 $f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ．

2. 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ，试证对任意给定的正数 $a, b$ ，在 $(0,1)$ 内一定存在互不相同的 $\xi, \eta$ ，使

$$\frac{a}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{b}{f^{\prime}(\eta)}=a+b$$

本题要证存在两个中值点 $\xi$ 和 $\eta$ ，且 $\xi \neq \eta$ ．这类问题通常要将原区间 $[a, b]$ 分为两个子区间 $[a, c]$ 和 $[c, b]$ ，然后在这两个子区间上分别用拉格朗日中值定理．这里的关键点和难点是分点 $c$ 的选取，通常采用＂逆推法＂。

设 $c \in(0,1)$ ，由拉格朗日中值定理知

$$\begin{array}{ll} \frac{f(c)-f(0)}{c-0}=f^{\prime}(\xi), & \xi \in(0, c), \\\\ \frac{f(1)-f(c)}{1-c}=f^{\prime}(\eta), & \\ \end{array}$$

将以上两式代人要证的结论 $\frac{a}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{b}{f^{\prime}(\eta)}=a+b$ 中得

$$a \cdot \frac{c}{f(c)}+b \cdot \frac{1-c}{1-f(c)}=a+b$$

即要证 $\frac{a}{a+b} \cdot \frac{c}{f(c)}+\frac{b}{a+b} \cdot \frac{1-c}{1-f(c)}=1$ ．
由上式看出，若存在 $c \in(0,1)$ ，使 $f(c)=\frac{a}{a+b}$ ，则上式成立．

证明 由于 $f(0)=0<\frac{a}{a+b}<1=f(1)$ ，由介值定理知存在 $c \in(0,1)$ ，使

$$f(c)=\frac{a}{a+b}$$

在区间 $[0, c]$ 和 $[c, 1]$ 上分别对 $f(x)$ 用拉格朗日中值定理得

$$\begin{array}{ll} \frac{f(c)-f(0)}{c-0}=f^{\prime}(\xi), & \xi \in(0, c), \\\\ \frac{f(1)-f(c)}{1-c}=f^{\prime}(\eta), & \\ \end{array}$$

从而有 $\frac{1}{f^{\prime}(\xi)}=\frac{c}{f(c)}=\frac{c(a+b)}{a}, \frac{1}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{1-c}{1-f(c)}=\frac{(1-c)(a+b)}{b}$ ，故

$$\frac{a}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{b}{f^{\prime}(\eta)}=a+b$$

题型3 证明存在一个中值点 $\xi \in(a, b)$ ，使 $F\left[\xi, f^{(n)}(\xi)\right] \geqslant 0(n \geqslant 2)$

用带拉格朗日余项的泰勒公式，其中 $x_0$ 点选题目中提供函数值和导数值信息多的点．

Eg.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶连续导数，且 $f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leqslant x \leqslant 1} f(x)=-1$ ，证明 $\max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geqslant 8$.

本题只要证明存在 $\xi \in(0,1)$ ，使 $f^{\prime \prime}(\xi) \geqslant 8$ ．
设 $f(c)=\min _{0 \leqslant x \leqslant 1} f(x)=-1$ ，则 $0<c<1$ ，且 $f^{\prime}(c)=0$ 。由泰勒公式知

$$f(x)=f(c)+f^{\prime}(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2!}(x-c)^2$$

在上式中分别令 $x=0$ ，和 $x=1$ 得

$$\begin{array}{ll} f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right)=\frac{2}{c^2}, & \xi_1 \in(0, c) \\\\ f^{\prime \prime}\left(\xi_2\right)=\frac{2}{(1-c)^2}, & \xi_2 \in(c, 1) \end{array}$$

若 $c \leqslant \frac{1}{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right)=\frac{2}{c^2} \geqslant \frac{2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=8$ ．
若 $c>\frac{1}{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}\left(\xi_2\right)=\frac{2}{(1-c)^2} \geqslant \frac{2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=8$ ．
故 $\max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geqslant 8$ ．

四、不定积分

1.概念与性质

原函数存在定理

定理 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一定存在原函数．
定理 若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有第一类间断点，则 $f(x)$ 在区间 $I$ 上没有原函数．

2.基本公式

(1) $\int 0 \mathrm{~d} x=C$.

(2) $\int x^a \mathrm{~d} x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C \quad(\alpha \neq-1)$.

(3) $\int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C$.

(4) $\int a^x \mathrm{~d} x=\frac{a^x}{\ln a}+C \quad(a>0, a \neq 1)$.

(5) $\int \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^x+C$.

(6) $\int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+C$.

(7) $\int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C$.

(8) $\int \sec ^2 x \mathrm{~d} x=\tan x+C$.

(9) $\int \csc ^2 x \mathrm{~d} x=-\cot x+C$.

(10) $\int \sec x \tan x \mathrm{~d} x=\sec x+C$.

(11) $\int \csc x \cot x \mathrm{~d} x=-\csc x+C$.

(12) $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x=\arcsin x+C$.

(13) $\int \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\arctan x+C$.

(14) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C$.

(15) $\int \frac{\mathrm{d} x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$.

(16) $\int \frac{\mathrm{d} x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$.

(17) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+C$.

(18) $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2-a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C$.

(19) $\int \sec x \mathrm{~d} x=\ln |\sec x+\tan x|+C$.

(20) $\int \csc x \mathrm{~d} x=-\ln |\csc x+\cot x|+C$.

3.主要积分法

第一换元法

$\begin{aligned} & \text { 设 } \int f(u) \mathrm{d} u=F(u)+C, u=\varphi(x) \text { 存在连续导数, 则 } \\ & \qquad \int f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int f[\varphi(x)] \mathrm{d} \varphi(x)=F[\varphi(x)]+C .\end{aligned}$

第二换元法

设 $x=\varphi(t)$ 是单调的，可导的函数，并且 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$ ．又

$$\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=F(t)+C$$

则

$$\begin{aligned} \int f(x) \mathrm{d} x & =\int f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=F(t)+C \\ & =F\left[\varphi^{-1}(x)\right]+C, \end{aligned}$$

其中 $\varphi^{-1}(x)$ 是 $x=\varphi(t)$ 的反函数．

（1）被积函数含有 $\sqrt{a^2-x^2}$ ，令 $x=a \sin t$（或 $a \cos t$ ）．

（2）被积函数含有 $\sqrt{a^2+x^2}$ ，令 $x=a \tan t$ ．

（3）被积函数含有 $\sqrt{x^2-a^2}$ ，令 $x=a \sec t$ ．

分部积分

适用的函数类
分部积分法比较适用于两类不同函数相乘．如下列积分，这里 $p_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式．

$$\begin{array}{lll} \int p_n(x) \mathrm{e}^{\alpha x} \mathrm{~d} x, & \int p_n(x) \sin \alpha x \mathrm{~d} x, & \int p_n(x) \cos \alpha x \mathrm{~d} x, \end{array} \int \mathrm{e}^{\alpha x} \sin \beta x \mathrm{~d} x, 0, ~ \int p_n(x) \ln x \mathrm{~d} x, \quad \int p_n(x) \arctan x \mathrm{~d} x, \quad \int p_n(x) \arcsin x \mathrm{~d} x . .$$

一般形式的分部积分公式

$\begin{gathered}\int f(x) \cdot g(x) \mathrm{d} x=f^{(0)}(x) \cdot g^{(-1)}(x)-f^{(1)}(x) \cdot g^{(-2)}(x) \\ +f^{(2)}(x) \cdot g^{(-3)}(x)-\ldots+(-1)^{n-1} f^{(n-1)}(x) \cdot g^{(-n)}(x)+(-1)^n \int f^{(n)}(x) \cdot g^{(-n)}(x) \mathrm{d} x .\end{gathered}$

画表可以直接一次性写出多次分部积分结果

$+/-$	$u(x)$	$\mathrm{d} v(x)$
$+\left(=(-1)^0\right)$	$f^{(0)}(x)$	$g^{(0)}(x)$
$-\left(=(-1)^1\right)$	$f^{(1)}(x)$	$g^{(-1)}(x)$
$+\left(=(-1)^2\right)$	$f^{(2)}(x)$	$g^{(-2)}(x)$
$-\left(=(-1)^3\right)$	$f^{(3)}(x)$	$g^{(-3)}(x)$
$+\left(=(-1)^4\right)$	$f^{(4)}(x)$	$g^{(-4)}(x)$

Eg.

$+/-$	$u(x)$	$\mathrm{d} v(x)$
+	$x^3+2 \cdot x-1$	$\cos (4 \cdot x)$
-	$3 \cdot x^2+2$	$\frac{1}{4} \cdot \sin (4 \cdot x)$
+	$6 \cdot x$	$-\frac{1}{16} \cdot \cos (4 \cdot x)$
-	6	$-\frac{1}{64} \cdot \sin (4 \cdot x)$
+	0	$\frac{1}{256} \cdot \cos (4 \cdot x)$

$$\begin{aligned} & \int\left(x^3+2 \cdot x-1\right) \cdot \cos (4 \cdot x) \mathrm{d} x \\ & =+\left(x^3+2 \cdot x-1\right) \cdot \frac{1}{4} \sin (4 \cdot x)-\left(3 \cdot x^2+2\right) \cdot\left(-\frac{1}{16}\right) \cos (4 \cdot x) \\ & \quad+6 \cdot x \cdot\left(-\frac{1}{64}\right) \cdot \sin (4 \cdot x)-6 \cdot \frac{1}{256} \cdot \cos (4 \cdot x)+\int 0 \cdot \frac{1}{256} \cdot \cos (4 \cdot x) \mathrm{d} x \\ & =\left(\frac{1}{4} \cdot x^2+\frac{13}{32} \cdot x-\frac{1}{4}\right) \cdot \sin (4 \cdot x)+\left(\frac{3}{16} \cdot x^2+\frac{13}{128}\right) \cdot \cos (4 \cdot x)+C . \end{aligned}$$

4.常见积分

（1）

$$\int R\left(x, \sqrt[m]{\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}}\right) d x$$

这里 $R$ 表示双自变量有理函数，$m$ 是自然数，$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 是常数．
令

$$t=\omega(x)=\sqrt[m]{\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}}, \quad t^m=\frac{\alpha x+\beta}{\gamma x+\delta}, \quad x=\varphi(t)=\frac{\delta t^m-\beta}{\alpha-\gamma t^m} .$$

该积分化为

$$\int R(\varphi(t), t) \varphi^{\prime}(t) d t$$

（2）二项式微分的积分

二项式微分指的是

$$x^m\left(a+b x^n\right)^p d x$$

这样的式子，这里 $a, b$ 是任意的常数，$m, n, p$ 是有理数．我们来讲这种式子积分成有限形式的情形．

有一种特殊情形是很明显的：如果 $p$ 是整数（正，负或零），则上式成为前段所讨论的类型．这就是说，如果以 $\lambda$ 表示分数 $m$ 与 $n$ 的分母的最小公倍数，则我们在此有 $R(\sqrt[x]{x}) d x$ 这样的式子，而其有理化只要采取替换 $t=\sqrt[\lambda]{x}$ 就行了．

现在我们用 $z=x^n$ 来把前面所给的式子予以变换．

于是有

$$x^m\left(a+b x^n\right)^p d x=\frac{1}{n}(a+b z)^p z^{\frac{m+1}{n}-1} d z$$

并且为简单计令

$$\frac{m+1}{n}-1=q$$

而有

$$\int x^m\left(a+b x^n\right)^p d x=\frac{1}{n} \int(a+b z)^p z^q d z$$

如果 $q$ 是整数，则我们又将得到所讨论过的那种类型的式子．事实上，如果以 $\nu$表示分数 $p$ 的分母，则经变换后的式子有 $R(z, \sqrt[v]{a+b z})$ 的形式．被积式的有理化可以用

$$t=\sqrt[v]{a+b z}=\sqrt[v]{a+b x^n}$$

这个替换来实现．

改写一下得到

$$\int\left(\frac{a+b z}{z}\right)^p z^{p+q} d z$$

容易看出，在 $p+q$ 为整数时我们也有所讨论过的情形：变换后的式子有 $R\left(z, \sqrt[v]{\frac{a+b z}{z}}\right)$ 的形式．在所给积分中被积式也可立即由下列替换来有理化：

$$t=\sqrt[v]{\frac{a+b z}{z}}=\sqrt[v]{a x^{-n}+b}$$

总结一下就是，若

$$p, \quad q, \quad p+q$$

诸数中，或者说是

$$p, \quad \frac{m+1}{n}, \quad \frac{m+1}{n}+p$$

诸数中有一个成整数则积分都可表为有限的形式．（如果没有，可以证明无法表为有限形式）

实操中只需要记住上面换元的方法即可，尤其是 $\frac{m+1}{n}+p$ 为整数的时候的情形

Eg.

1. $\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}} d x=\int x^{-\frac{1}{2}}\left(1+x^{\frac{1}{4}}\right)^{\frac{1}{3}} d x$ ．
   这里 $m=-\frac{1}{2}, n=\frac{1}{4}, p=\frac{1}{3}$ ；既然 $\frac{m+1}{n}=\frac{-\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{4}}=2$ ，则我们有第二种可积情形．注意， $\nu=3$, 则令

$$t=\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}, \quad x=\left(t^3-1\right)^4, \quad d x=12 t^2\left(t^3-1\right)^3 d t$$

于是

$$\int \frac{\sqrt[3]{1+\sqrt[4]{x}}}{\sqrt{x}} d x=12 \int\left(t^6-t^3\right) d t=\frac{3}{7} t^4\left(4 t^3-7\right)+C$$

2. $\int \frac{d x}{\sqrt[4]{1+x^4}}=\int x^0\left(1+x^4\right)^{-\frac{1}{4}} d x$.

这里 $m=0, n=4, p=-\frac{1}{4}$ 而属第三种可积情形，因为 $\frac{m+1}{n}+p=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0$ ，$\nu=4$ ；

$$\begin{aligned} t=\sqrt[4]{x^{-4}+1} & =\frac{\sqrt[4]{1+x^4}}{x}, \quad x=\left(t^4-1\right)^{-\frac{1}{4}}, \\ d x & =-t^3\left(t^4-1\right)^{-\frac{5}{4}} d t \end{aligned}$$

如此 $\sqrt[4]{1+x^4}=t x=t\left(t^4-1\right)^{-\frac{1}{4}}$ 而

$$\begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt[4]{1+x^4}} & =-\int \frac{t^2 d t}{t^4-1}=\frac{1}{4} \int\left(\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t-1}\right) d t-\frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^2+1} \\ & =\frac{1}{4} \ln \left|\frac{t+1}{t-1}\right|-\frac{1}{2} \arctan t+C \end{aligned}$$

(3)$R\left(x, \sqrt{a x^2+b x+c}\right)$ 型根式的积分法 （欧拉替换法）

假设这个一元二次方程没有相同的根，根式不能用有理式替代

第一种替换适用于 $a>0$ 的情形．此时设

$$\sqrt{a x^2+b x+c}=t-\sqrt{a} x$$

把这等式两边平方，（对消两边的 $a x^2$ 一项）得 $b x+c=t^2-2 \sqrt{a} t x$ ，如此

$$\begin{gathered} x=\frac{t^2-c}{2 \sqrt{a} t+b}, \quad \sqrt{a x^2+b x+c}=\frac{\sqrt{a} t^2+b t+c \sqrt{a}}{2 \sqrt{a} t+b}, \\ d x=2 \frac{\sqrt{a} t^2+b t+c \sqrt{a}}{(2 \sqrt{a} t+b)^2} d t \end{gathered}$$

欧拉替换的巧妙就在，得出一个一次方程来决定 $x$ ，如此 $x$ 以及根式 $\sqrt{a x^2+b x+c}$同时都能以 $t$ 的有理式表出．

则问题化为求一个 $t$ 的有理函数的积分．最后须令

$$t=\sqrt{a x^2+b x+c}+\sqrt{a} x$$

而恢复到变量 $x$

第二种替换适用于 $c>0$ 的情形．在这情形可以设

$$\sqrt{a x^2+b x+c}=x t+\sqrt{c}$$

如果两边平方，对消 $c$ 并约去 $x$ ，则得 $a x+b=x t^2+2 \sqrt{c} t$ ，这又是一个 $x$ 的一次方程．由此有

$$\begin{gathered} x=\frac{2 \sqrt{c} t-b}{a-t^2}, \quad \sqrt{a x^2+b x+c}=\frac{\sqrt{c} t^2-b t+a \sqrt{c}}{a-t^2} \\ d x=2 \frac{\sqrt{c} t^2-b t+\sqrt{c} a}{\left(a-t^2\right)^2} d t . \end{gathered}$$

显然我们就达成被积式的有理化．积分以后须令

$$t=\frac{\sqrt{a x^2+b x+c}-\sqrt{c}}{x}$$

上面所考虑的两种情形 $(a>0$ 及 $c>0)$ 一种可令 $x=\frac{1}{z}$ 而化为另一种．因此总可以避免利用第二种替换

第三种替换适合于二次三项式 $a x^2+b x+c$ 有（相异）实根 $\lambda$ 及 $\mu$ 的情形．于是这三项式，大家知道，可分解为一次因子

$$a x^2+b x+c=a(x-\lambda)(x-\mu) .$$

我们设

$$\sqrt{a x^2+b x+c}=t(x-\lambda) .$$

两边平方而约去 $x-\lambda$ ，在此又得出一个一次方程 $a(x-\mu)=t^2(x-\lambda)$ ，如此

$$x=\frac{-a \mu+\lambda t^2}{t^2-a}, \quad \sqrt{a x^2+b x+c}=\frac{a(\lambda-\mu) t}{t^2-a}, \quad d x=\frac{2 a(\mu-\lambda) t}{\left(t^2-a\right)^2} d t$$

等等。

在所作假设之下根式 $\sqrt{a(x-\lambda)(x-\mu)}$ 可以变为

$$(x-\lambda) \sqrt{a \frac{x-\mu}{x-\lambda}}$$

的形式，则

$$R\left(x, \sqrt{a x^2+b x+c}\right)=R_1\left(x, \sqrt{a \frac{x-\mu}{x-\lambda}}\right)$$

如此显然第三种欧拉替换可写成

$$t=\sqrt{a \frac{x-\mu}{x-\lambda}}$$

的形式，这就与在上上一节已指出的替换一样．

五、定积分与反常积分

1.定积分

定积分存在的充分条件

定理 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 必定存在．

定理 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 必定存在．

定理 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上只有有限个第一类间断点，则$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 必定存在．

定积分的性质

1.不等式性质

（1）若在区间 $[a, b]$ 上 $f(x) \leqslant g(x)$ ，则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ ．

（2）若 $M$ 及 $m$ 分别是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值和最小值，则

$$m(b-a) \leqslant \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leqslant M(b-a) .$$

（3）$\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$ ．

2.中值定理

（1）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)(a<\xi<b) .$$

常称 $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 为函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值．

（2）若 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$g(x)$ 不变号，则

$$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d} x(a \leqslant \xi \leqslant b) .$$

3.区间再现

$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d} x$

4.积分对称(由区间再现易证)

若曲线 $y=f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称，即 $f(a-x)=f(a+x)$ ,那么

$$\int_{a-x_0}^{a+x_0} x f(x) d x=a \int_{a-x_0}^{a+x_0} f(x) d x$$

积分上限函数

定理 如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$在 $[a, b]$ 上可导，且 $\frac{\mathrm{d} \Phi(x)}{\mathrm{d} x}=f(x)$

由原函数的概念可知，如果 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 为 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的一个原函数．由此可知，连续函数必有原函数．

如果 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的连续函数，$\varphi_1(x), \varphi_2(x)$ 为可导函数，则 $\left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(t) \mathrm{d} t\right)^{\prime}=f\left[\varphi_2(x)\right] \cdot \varphi_2^{\prime}(x)-f\left[\varphi_1(x)\right] \cdot \varphi_1^{\prime}(x)$.

定理 设函数 $f(x)$ 在 $[-l, l]$ 上连续，则如果 $f(x)$ 为奇函数，那么 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 必为偶函数．如果 $f(x)$ 为偶函数，那么 $\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 必为奇函数．

定积分的计算

1.牛-莱公式

设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，$F(x)$ 为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数，则有

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_a ^b=F(b)-F(a) .$$

2.换元积分

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，函数 $x=\varphi(t)$ 满足以下条件：
（1）$\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b$ ．

（2）$\varphi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$（或 $[\beta, \alpha]$ ）上有连续导数，且 $R_{\varphi} \subseteq I$ ，则

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^\beta f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t .$$

注意在定积分计算中，$x=\varphi(t)$ 的值域完全可以超出 $[a,b]$ 的范围，也就是说 $x=\varphi(t)$ 不需要是单调的。
需要单调的情况主要是用反函数换元，此时需要满足反函数存在条件（单射、满射），而单射连续函数自然单调

3.分部积分

$\int_a^b u \mathrm{~d} v=\left.u v\right|_a ^b-\int_a^b v \mathrm{~d} u$

4.利用周期性、奇偶性

（1）设 $f(x)$ 为 $[-a, a]$ 上的连续函数 $(a>0)$ ，则

$$\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x= \begin{cases}0, & f(x) \text { 为奇函数时, } \\ 2 \int_0^a f(x) \mathrm{d} x, & f(x) \text { 为偶函数时. }\end{cases}$$

（2）设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则对任给数 $a$ ，总有

$$\int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^T f(x) \mathrm{d} x$$

5.利用已有公式

包括区间再现公式、积分对称公式、点火公式等

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x \mathrm{~d} x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n x \mathrm{~d} x= \begin{cases}\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \cdots \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, & n \text { 为正偶数, } \\ \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \cdots \frac{2}{3}, & n \text { 为大于 } 1 \text { 的奇数. }\end{cases}$

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^\nu x \cos ^\mu d x= \begin{cases}\frac{(\nu-1)!!(\mu-1)!!}{(\mu+\nu)!!} \cdot \frac{\pi}{2} & \text { , } \mu, \nu \text { 为偶数 } \\ \frac{(\nu-1)!!(\mu-1)!!}{(\mu+\nu)!!} & \text { , 其他情形 }\end{cases}$

上式可以由Beta函数推得，这里补充使用Gamma与Beta函数求解的一些技巧。

Gamma函数：

定义

$$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e}^{-t} \mathrm{~d} t, x>0$$

性质(只给有用的结论):

（1）递推式：$\Gamma(x+1)=x \Gamma(x)$
特别地，对于正整数 n ，有：$\Gamma(n)=(n-1)$ ！

（2）余元公式：$\Gamma(x) \Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin (\pi x)}$

（3）Legendre公式: $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma(2 s)=2^{2 s-1} \Gamma(s) \Gamma\left(s+\frac{1}{2}\right)$

特别地，$\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$

Beta函数

定义 对 $\forall p, q>0, B(p, q)=\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ 为 Beta 函数

性质
（1）对称性：$B(p, q)=B(q, p)$

（2）与 Gamma 函数的转化：$B(p, q)=\frac{\Gamma(p) \Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$

相关变形

（1）幂函数换元

令 $x=t^\alpha(\alpha>0), t \in[0,1]$ ，

$$\begin{aligned} B(p, q) & =\int_0^1 t^{\alpha(p-1)}\left(1-t^\alpha\right)^{q-1} \cdot \alpha t^{\alpha-1} \mathrm{~d} t \\ & =\alpha \int_0^1 t^{\alpha p-1}\left(1-t^\alpha\right)^{q-1} \mathrm{~d} t \end{aligned}$$

系数作换元：$\left\{\begin{array}{c}\alpha p-1=m \\ q-1=n\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}p=\frac{m+1}{\alpha} \\ q=n+1\end{array}\right.\right.$
于是得到：

$$\int_0^1 t^m\left(1-t^\alpha\right)^n \mathrm{~d} t=\frac{1}{\alpha} B\left(\frac{m+1}{\alpha}, n+1\right)$$

（2）三角换元

令 $x=\sin ^2 t, t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，

$$\begin{aligned} B(p, q) & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^2 t\right)^{p-1}\left(\cos ^2 t\right)^{q-1} \cdot 2 \sin t \cos t \mathrm{~d} t \\ & =2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 p-1} t \cos ^{2 q-1} t \mathrm{~d} t \end{aligned}$$

系数作换元：$\left\{\begin{array}{c}2 p-1=m \\ 2 q-1=n\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}p=\frac{m+1}{2} \\ q=\frac{n+1}{2}\end{array}\right.\right.$
于是得到：

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^m t \cos ^n t \mathrm{~d} t=\frac{1}{2} B\left(\frac{m+1}{2}, \frac{n+1}{2}\right)$$

Eg.

$\begin{aligned} & \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt[3]{\tan x} \mathrm{~d} x \\ & =\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\frac{1}{3}}(\cos x)^{-\frac{1}{3}} \mathrm{~d} x \\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \\ & =\frac{1}{2} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{2}{3}\right) \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)}{\Gamma(1)} \\ & =\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{\sin \left(\frac{\pi}{3}\right)} \\ & =\frac{\sqrt{3}}{3} \pi\end{aligned}$

6.用定义计算定积分

$\int_a^b f (x) d x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^n f \left(a+i \frac{b-a}{n}\right) \frac{b-a}{n}$

Eg.
求 $\int_0^1 e^x \mathrm{~d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n e^{\frac{k}{n}}$

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\left[e^{\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n}\right] & =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^i \\ & =\frac{1}{n} \frac{e^{\frac{1}{n}}\left(1-\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n\right)}{1-e^{\frac{1}{n}}} \\ & =\frac{e^{\frac{1}{n}}}{n\left(1-e^{\frac{1}{n}}\right)} \cdot(1-e) \end{aligned}$$

$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x e^x}{1-e^x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x e^x}{-x}=-1$$

则由海涅定理

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{\frac{1}{n}}}{n\left(1-e^{\frac{1}{n}}\right)}=-1$$

故

$$\int_0^1 e^x d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n\left[e^{\frac{i}{n}} \cdot \frac{1}{n}\right]=e-1$$

2.反常积分

无穷区间上的反常积分

定义（1）设 $f(x)$ 为 $[a,+\infty)$ 上的连续函数，如果极限 $\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_a^t f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在无穷区间 $[a,+\infty)$ 上的反常积分，记作 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，即

$$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_a^t f(x) \mathrm{d} x$$

这时也称反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．如果上述极限不存在，则称反常积分 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

（2）设 $f(x)$ 为 $(-\infty, b]$ 上的连续函数，则可类似的定义函数 $f(x)$ 在无穷区间 $(-\infty, b]$上的反常积分

$$\int_{-\infty}^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_t^b f(x) \mathrm{d} x$$

（3）设 $f(x)$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上的连续函数，如果反常积分

$$\int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d} x \text { 和 } \int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$$

都收敛，则称反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d} x+\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$$

如果 $\int_{-\infty}^0 f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 至少有一个发散，则称 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

定理 （比较判别法）
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，且 $0 \leqslant f(x) \leqslant g(x)$ ，则
（1）当 $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收敛时， $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．

（2）当 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散时， $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散．

定理 （比较判别法的极限形式）
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上非负连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或无穷），则
（1）当 $\lambda \neq 0$ 时， $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 同敛散．

（2）当 $\lambda=0$ 时，若 $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．

（3）当 $\lambda=+\infty$ 时，若 $\int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散，则 $\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也发散．

无界函数的反常积分（瑕积分）

定义 设函数 $f(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点．如果极限

$$\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_t^b f(x) \mathrm{d} x$$

存在，则称此极限为函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的反常积分，记作 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ ，即

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_t^b f(x) \mathrm{d} x,$$

这时也称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．如果上述极限不存在，则称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

（2）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b)$ 上连续，点 $b$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点．则可类似的定义函数 $f(x)$在区间 $[a, b]$ 上的反常积分

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\lim _{t \rightarrow b^{-}} \int_a^t f(x) \mathrm{d} x .$$

（3）设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上除点 $c(a<c<b)$ 外连续，点 $c$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点．如果反常积分

$$\int_a^c f(x) \mathrm{d} x \text { 和 } \int_c^b f(x) \mathrm{d} x$$

都收敛，则称反常积分 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^b f(x) \mathrm{d} x$$

如果 $\int_a^c f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_c^b f(x) \mathrm{d} x$ 至少有一个发散，则称 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

定理 （比较判别法）
设 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b]$ 上连续，且 $0 \leqslant f(x) \leqslant g(x), x=a$ 为 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的瑕点，则
（1）当 $\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 收敛时， $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．

（2）当 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散时， $\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 发散．
定理 （比较判别法的极限形式）
设 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b]$ 上非负连续，且 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)}{g(x)}=\lambda$（有限或无穷），则
（1）当 $\lambda \neq 0$ 时， $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 同敛散．

（2）当 $\lambda=0$ 时，若 $\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．

（3）当 $\lambda=+\infty$ 时，若 $\int^b g(x) \mathrm{d} x$ 发散，则 $\int^b f(x) \mathrm{d} x$ 也发散．

万能公式

化为$\int \frac{1}{x^\alpha \ln ^\beta x} d x$

(1)当x→0（瑕点），当且仅当 $α＜1$ 或 $α=1$ 且 $β＞1$时收敛，其余情况均发散；（注：瑕点并非一定为0，如分母为（x-1）时，则瑕点为1）

(2)当x→∞（无穷区间），当且仅当 $α＞1$ 或 $α=1$ 且 $β＞1$时收敛，其余情况均发散。

六、定积分的应用

1.几何应用

平面图形的面积

（1）若平面域 $D$ 由曲线 $y=f(x), y=g(x)(f(x) \geqslant g(x)), x=a, x=b(a<b)$ 所围成，则平面域 $D$ 的面积为

$$S=\int_a^b[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x .$$

（2）若平面域 $D$ 由曲线 $r=r(\theta), \theta=\alpha, \theta=\beta(\alpha<\beta)$ 所围成，则其面积为

$$S=\frac{1}{2} \int_a^\beta r^2(\theta) \mathrm{d} \theta$$

旋转体体积

若区域 $D$ 由曲线 $y=f(x)(f(x) \geqslant 0)$ 和直线 $x=a, x=b(0 \leqslant a<b)$ 及 $x$ 轴所围成，则

（1）区域 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积为

$$V_x=\pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x$$

（2）区域 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体体积为

$$V_y=2 \pi \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x .$$

曲线弧长

(1) $C: y=y(x), a \leqslant x \leqslant b$.

$$s=\int_a^b \sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x$$

(2) $C:\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=y(t),\end{array} \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta\right.$.

$$s=\int_a^\beta \sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} t$$

(3) $C: r=r(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta$.

$$s=\int_a^\beta \sqrt{r^2+r^{\prime 2}} \mathrm{~d} \theta$$

旋转体侧面积

曲线 $y=f(x)(f(x) \geqslant 0)$ 和直线 $x=a, x=b(0 \leqslant a<b)$ 及 $x$ 轴所围成区域绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的侧面积为

$$S=2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$$

七、微分方程

1.一阶微分方程

可分离变量方程

$$g(y) \mathrm{d} y=f(x) \mathrm{d} x .$$

两边积分即可

齐次微分方程

能化为 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\varphi\left(\frac{y}{x}\right)$ 的微分方程称为齐次微分方程．

求解齐次微分方程的一般方法：令 $u=\frac{y}{x}$ ，则 $y^{\prime}=u+x u^{\prime}$ ，从而将原方程化为 $x u^{\prime}=$ $\varphi(u)-u$ ，此方程为可分离变量的方程．

一阶线性微分方程

形如 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的方程称为一阶线性微分方程．
求解一阶线性微分方程的一般方法：常数变易法，或直接利用以下通解公式

$$y=\mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}\left[\int q(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x+C\right] .$$

伯努利方程

$$\frac{d y}{d x}+P(x) y=Q(x) y^n$$

两边同时除以 $y^n$ ，得：

$$y^{-n} \frac{d y}{d x}+P(x) y^{(1-n)}=Q(x)$$

令 $z=y^{(1-n)}$ ，则：

$$\frac{d z}{d x}=(1-n) y^{-n} \frac{d y}{d x}$$

即

$$\frac{d y}{d x}=\frac{y^n}{1-n} \cdot \frac{d z}{d x}$$

将还原后得因式代入，得：

$$\frac{1}{1-n} \cdot \frac{d z}{d x}+P(x) z=Q(x)$$

全微分方程

$$P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$$

如果方程 $P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$ 的左端是某个函数 $u(x, y)$ 的全微分

$$\mathrm{d} u(x, y)=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y,$$

则称该方程为全微分方程．此方程的通解为

$$u(x, y)=C$$

$$P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y \text { 为全微分 } \Leftrightarrow \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$$

积分因子法

设方程（1）不是全微分方程，若（1）有解，则可证：

$$\exists \mu(x, y) \neq 0, \text { s.t. }$$

$$\mu(x, y) P(x, y) \mathrm{d} x+\mu(x, y) Q(x, y) \mathrm{d} y=0$$

为一全微分方程，则称函数 $\mu(x, y)$ 为积分因子．

求解积分因子:

$$\begin{aligned} &\because \mu P \mathrm{~d} x+\mu Q \mathrm{~d} y=0 \text { 是全微分方程 }\\ &\begin{aligned} & \therefore \frac{\partial(\mu P)}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial x} \\ & \therefore \frac{\partial \mu}{\partial y} P+\frac{\partial P}{\partial y} \mu=\frac{\partial \mu}{\partial x} Q+\mu \frac{\partial Q}{\partial x} \\ & \therefore \frac{\partial \mu}{\partial y} P-\frac{\partial \mu}{\partial x} Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \end{aligned} \end{aligned}$$

知道是全微分方程后，就可以直接选取任意路径进行积分了，例如

$$u(x, y)=\int_{x_0}^x P\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x+\int_{y_0}^y Q(x, y) \mathrm{d} y$$

2.可降阶的高阶方程

（1）$y^{(n)}=f(x)$ 型的微分方程

（2）$y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$ 型的方程

只需令 $y^{\prime}=p, y^{\prime \prime}=p^{\prime}$ ，可将原方程化为一阶微分方程．

4.高阶线性微分方程

$$y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x),$$

这里的 $p(x), q(x), f(x)$ 均为连续函数．当方程右端的 $f(x) \equiv 0$ 时，称为二阶线性齐次方程，否则称为二阶线性非齐次方程。

齐次方程

$$y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0$$

非齐次方程

$$y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$$

二阶常系数线性齐次微分方程

一般形式为

$$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0,$$

其特征方程为 $r^2+p r+q=0$ ，设 $r_1, r_2$ 为该方程的两个根．
（1）若 $r_1 \neq r_2$ 为两个不相等的实特征根，则方程的通解为

$$y=C_1 \mathrm{e}^{r_1 x}+C_2 \mathrm{e}^{r_2 x}$$

（2）若 $r_1=r_2$ 为二重实特征根，则方程的通解为

$$y=\left(C_1+C_2 x\right) \mathrm{e}^{r_1 x}$$

（3）若 $r_1=\alpha+\mathrm{i} \beta, r_2=\alpha-\mathrm{i} \beta$ 为一对共轭复根，则方程的通解为

$$y=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_1 \cos \beta x+C_2 \sin \beta x\right)$$

二阶常系数线性非齐次微分方程

一般形式为

$$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x) .$$

（1）若 $f(x)=P_m(x) \mathrm{e}^{\lambda x}$ ，其中 $P_m(x)$ 为 $x$ 的 $m$ 次多项式，则方程（4）的特解可设为

$$y^*=x^k Q_m(x) \mathrm{e}^{\lambda x},$$

其中 $Q_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次的多项式，$k$ 是特征方程含根 $\lambda$ 的重复次数．

（2）若 $f(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}\left[P_l^{(1)}(x) \cos \beta x+P_n^{(2)}(x) \sin \beta x\right]$ ，其中 $P_l^{(1)}(x), P_n^{(2)}(x)$ 分别为 $x$ 的 $l$次，$n$ 次多项式，则方程的特解可设为

$$y^*=x^k \mathrm{e}^{a x}\left[R_m^{(1)}(x) \cos \beta x+R_m^{(2)}(x) \sin \beta x\right],$$

其中 $R_m^{(1)}(x), R_m^{(2)}(x)$ 是两个 $m$ 次多项式，$m=\max \{l, n\}$ 。
当 $\alpha+\mathrm{i} \beta$ 不是对应齐次方程的特征根时，取 $k=0$ ．
当 $\alpha+\mathrm{i} \beta$ 是对应齐次方程的单特征根时，取 $k=1$ ．

微分算子法

仅列举本人认为用微分算子法非常快的两种情形，其他情形仍建议采用传统方法

1. $f(x) = e^{kx}$

（1）$F(D)$ 取倒数 $y^*=\frac{1}{F(D)} e^{k x}$

（2）令 $D=k \Rightarrow y^*$
注：若$D=k$ 时 $F(D)=0$ ，前乘 $x, ~$ 计算 $y^*=x \cdot \frac{1}{F^{\prime}(D)} e^{k x}$ 重复做，直到分母不为 0 为止。

Eg.
求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}-2 \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}-3 y=e^{2 x}$ 的一个特解：

$$\begin{aligned} & \left(D^2-2 D-3\right) y=e^{2 x} \\ & y^*=\frac{1}{D^2-2 D-3} e^{2 x} \\ & y^*=\frac{1}{2^2-2 \times 2-3} e^{2 x} \\ & y^*=-\frac{1}{3} e^{2 x} \end{aligned}$$

2.$f(x)=sin(\alpha x) $或$cos(\alpha x)$

（1）$\sin \alpha x(\cos \alpha x) \Rightarrow e^{i \cdot \alpha x}$ ，用上一点的方法求

（2）$F(D)=0 \Rightarrow y^*=x \cdot \frac{1}{F^{\prime}(D)} \cdot f(x)$

（3）分母上有 $D$ 的一次项 凑出平方再代入．

（4）孤立的 $D$与$D^{-1}$分别代表求导与积分

Eg.

$$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-2 y=\sin 3 x$$

$$\begin{aligned} y^* & =\frac{1}{D^2+3 D-2} \sin 3 x \\ & =\frac{1}{3 D-11} \sin 3 x \\ & =\frac{3 D+11}{9 D^2-121} \sin 3 x \\ & =-\frac{1}{202}(3 D+11) \sin 3 x \\ & =-\frac{1}{202}(3 D \sin 3 x+11 \sin 3 x) \\ & =-\frac{1}{202}(9 \cos 3 x+11 \sin 3 x) \end{aligned}$$

八、多元函数微分学

1.基本概念

多元函数的极限

定义 设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上有定义，点 $P_0\left(x_0, y_0\right) \in D$ 或为 $D$ 的边界点，如果 $\forall \varepsilon$ $>0$ ，存在 $\delta>0$ ，当 $P(x, y) \in D$ ，且 $0<\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}<\delta$ 时，都有

$$|f(x, y)-A|<\varepsilon$$

成立，则称常数 $A$ 为函数 $f(x, y)$ 当 $(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)$ 时的极限，记为

$$\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=A \text { 或 } \lim _{x \rightarrow x_0} f(x, y)=A \text { 或 } \lim _{P \rightarrow P_0} f(P)=A \text {. }$$

这里的极限是要求点 $(x, y)$ 在 $D$ 内以任意方式趋近于点 $\left(x_0, y_0\right)$ 时，函数 $f(x, y)$ 都趋近于同一确定的常数 $A$ ，否则该极限就不存在．

所谓“任意方式”即海涅定理：
函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的极限 $ A$ 存在当且仅当任意以 $x_0$ 为极限的非平凡数列 $\left\{x_n\right\}$ 使得 $\left{f\left(x_n\right)\right} $收敛于$A$

多元函数的连续性

定义 设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上有定义，点 $P_0\left(x_0, y_0\right) \in D$ ，如果

$$\lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0 , y_0\right)} f(x, y)=f\left(x_0, y_0\right)$$

成立，则称函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 连续；如果 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的每个点 $(x, y)$ 处都连续，则称函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续．

偏导数

定义 设 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的某一邻域内有定义，如果

$$\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}$$

存在，则称这个极限值为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处对 $x$ 的偏导数，记为

$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}} \quad \text { 或 }\left.\quad \frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}} \quad \text { 或 } \quad f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \text {. }$$

类似地，如果

$$\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta y}$$

存在，则称这个极限值为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处对 $y$ 的偏导数，记为

$$\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}} \quad \text { 或 }\left.\quad \frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\substack{x=x_0 \\ y=y_0}} \quad \text { 或 } f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \text {. }$$

定理 如果函数 $z=f(x, y)$ 的两个二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ 及 $\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$ 在区域 $D$ 内连续，则该区域内这两个混合偏导数必定相等．

全微分

定义 如果函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的全增量

$$\Delta z=f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)$$

可表示为

$$\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)$$

其中 $A, B$ 与 $\Delta x, \Delta y$ 无关，$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ，则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微，而称 $A \Delta x+B \Delta y$ 为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的全微分，记为

$$\mathrm{d} z=A \Delta x+B \Delta y$$

如果 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内的每一点 $(x, y)$ 都可微分，则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 内可微分．

定理（全微分存在的必要条件）如果函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，则该函数在点 $(x, y)$ 处的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且

$$\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y .$$

用定义判定 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的可微性分以下两步：
（1）$f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 与 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)$ 是否都存在？

（2） $\lim _{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0}} \frac{\left[f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right)\right]-\left[f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \Delta x+f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \Delta y\right]}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$
是否为零？

定理（全微分存在的充分条件）如果 $z=f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，则函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处可微．

2.多元函数的微分法

全微分形式的不变性

设函数 $z=f(u, v), u=u(x, y)$ 及 $v=v(x, y)$ 都有连续的一阶偏导数，则复合函数 $z=f[u(x, y), v(x, y)]$ 的全微分

$$\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y=\frac{\partial z}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial z}{\partial v} \mathrm{~d} v$$

隐函数微分法

对所有方程两边微分再化简即可。对于多个方程的问题，可以利用Cramer法则解线性方程组解决，无需额外记忆。

3.多元函数的极值与最值

无约束极值

定理（函数取极值的充分条件）设二元函数 $f(\boldsymbol{x}) \in C^{(2)}\left(U\left(\boldsymbol{x}_0\right)\right), \boldsymbol{x}_0$ 是 $f(\boldsymbol{x})$ 的驻点， $\boldsymbol{H}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$ 是 $f(\boldsymbol{x})$ 在点 $\boldsymbol{x}_0$ 的 Hesse 矩阵，则
（1）若 $\boldsymbol{H}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$ 为正定矩阵，$f(\boldsymbol{x})$ 在点 $\boldsymbol{x}_0$ 取得极小值；

（2）若 $\boldsymbol{H}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$ 为负定矩阵，$f(\boldsymbol{x})$ 在点 $\boldsymbol{x}_0$ 取得极大值；

（3）若 $\boldsymbol{H}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$ 为不定矩阵，$f(\boldsymbol{x})$ 在点 $\boldsymbol{x}_0$ 无极值；

（4）若 $\boldsymbol{H}\left(\boldsymbol{x}_0\right)$ 为半正定或半负定矩阵，$f(\boldsymbol{x})$ 在点 $\boldsymbol{x}_0$ 可能有极值，也可能无极值。

将二元函数 $f(x, y)$ ，在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的 Hesse 矩阵记为

$$\boldsymbol{H}\left(x_0, y_0\right)=\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial^2 f\left(x_0, y_0\right)}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f\left(x_0, y_0\right)}{\partial x \partial y} \\ \frac{\partial^2 f\left(x_0, y_0\right)}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f\left(x_0, y_0\right)}{\partial y^2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} A & B \\ B & C \end{array}\right)$$

根据线性代数理论，知
（1）当 $A>0$ ，且 $A C-B^2>0$ 时， $\boldsymbol{H}\left(x_0, y_0\right)$ 为正定矩阵；

（2）当 $A<0$ ，且 $A C-B^2>0$ 时， $\boldsymbol{H}\left(x_0, y_0\right)$ 为负定矩阵；

（3）当 $A C-B^2<0$ 时， $\boldsymbol{H}\left(x_0, y_0\right)$ 为不定矩阵；

（4）当 $A C-B^2=0$ 时， $\boldsymbol{H}\left(x_0, y_0\right)$ 为半正定或半负定矩阵．
从而有如下结论。

推论 设二元函数 $f(x, y) \in C^{(2)}\left(U\left(x_0, y_0\right)\right),\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，记

$$A=f_{x x}\left(x_0, y_0\right), \quad B=f_{x y}\left(x_0, y_0\right), \quad C=f_{y y}\left(x_0, y_0\right),$$

则
（1）当 $A C-B^2>0$ ，且 $A>0$ 时，$f\left(x_0, y_0\right)$ 是极小值；

（2）当 $A C-B^2>0$ ，且 $A<0$ 时，$f\left(x_0, y_0\right)$ 是极大值；

（3）当 $A C-B^2<0$ 时，$f\left(x_0, y_0\right)$ 不是极值；

（4）当 $A C-B^2=0$ 时，不能确定 $f\left(x_0, y_0\right)$ 是否为极值．

条件极值

求 $z=f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的条件极值的一般方法为
（1）构造拉格朗日函数 $F(x, y, \lambda)=f(x, y)+\lambda \varphi(x, y)$ ．

（2）将 $F(x, y, \lambda)$ 分别对 $x, y, \lambda$ 求偏导数，构造方程组

$$\left\{\begin{array}{l} f_x^{\prime}(x, y)+\lambda \varphi_x^{\prime}(x, y)=0, \\ f_y^{\prime}(x, y)+\lambda \varphi_y^{\prime}(x, y)=0, \\ \varphi(x, y)=0 \end{array}\right.$$

解出 $x, y$ 及 $\lambda$ ，则其中 $(x, y)$ 就是函数 $f(x, y)$ 在条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的可能极值点．
以上方法可推广到对于 $n$ 元函数在 $m$ 个约束条件下的极值问题，如求 $u=f(x, y, z)$ 在条件 $\varphi(x, y, z)=0, \psi(x, y, z)=0$ 下的极值，可构造拉格朗日函数

$$F(x, y, z, \lambda, \mu)=f(x, y, z)+\lambda \varphi(x, y, z)+\mu \psi(x, y, z)$$

对 $F$ 的 $x, y, z, \lambda, \mu$ 分别求偏导数，并构造方程组

$$\left\{\begin{array}{l} f_x^{\prime}(x, y, z)+\lambda \varphi_x^{\prime}(x, y, z)+\mu \psi_x^{\prime}(x, y, z)=0 \\ f_y^{\prime}(x, y, z)+\lambda \varphi_y^{\prime}(x, y, z)+\mu \psi_y^{\prime}(x, y, z)=0 \\ f_z^{\prime}(x, y, z)+\lambda \varphi_z^{\prime}(x, y, z)+\mu \psi_z^{\prime}(x, y, z)=0, \\ \varphi(x, y, z)=0 \\ \psi(x, y, z)=0 \end{array}\right.$$

解出 $x, y, z, \lambda$ 及 $\mu$ ，则其中 $(x, y, z)$ 就是可能的极值点．

九、二重积分

1.二重积分的概念与性质

略

2.二重积分的计算

利用直角坐标计算

（1）先 $y$ 后 $x$ ．积分区域 $D$ 可以用 $a \leqslant x \leqslant b, \varphi_1(x) \leqslant y \leqslant \varphi_2(x)$ 表示，

$$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y .$$

（2）先 $x$ 后 $y$ ．积分区域 $D$ 可以用 $c \leqslant y \leqslant d, \varphi_1(y) \leqslant x \leqslant \varphi_2(y)$ 表示，

$$\iint f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(x, y) \mathrm{d} x .$$

利用极坐标计算

先 $r$ 后 $\theta$ ．积分区域 $D$ 可以用 $\alpha \leqslant \theta \leqslant \beta, \varphi_1(\theta) \leqslant r \leqslant \varphi_2(\theta)$ 表示，

$$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^\beta \mathrm{d} \theta \int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r .$$

利用奇偶性计算

（1）若积分域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，$f(x, y)$ 关于 $x$ 有奇偶性，则：

$$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma= \begin{cases}2 \iint_{D_{x \geqslant 0}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为偶函数, } \\ 0, & f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为奇函数. }\end{cases}$$

（2）若积分域 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$f(x, y)$ 关于 $y$ 有奇偶性，则

$$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma= \begin{cases}2 \iint_{D_{y \geqslant 0}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma, & f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为偶函数, } \\ 0, & f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为 奇 函数. }\end{cases}$$

利用变量的轮换对称性计算

如果积分域 $D$ 具有轮换对称性，也就是关于直线 $y=x$ 对称，即 $D$ 的表达式中将 $x$ 换 $y, y$ 换作 $x$ ，表达式不变，则

$$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_D f(y, x) \mathrm{d} \sigma .$$

一般来说遵循如下的流程:
（1）先看区域对称性，再代入对称点观察函数是否有对应的对称性。比如关于x轴对称，则代入对称点 $(x,-y)$
如果是轮换对称，则有可能可以直接把积分化为轮换对称形式
（2）判断是否需要换元：首先看被积函数是否为 $f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right), f\left(\frac{y}{x}\right), f\left(\frac{x}{y}\right)$ 等形式，再看积分区域是否有圆.
（3）描述积分区域界限，如果是极坐标，从极点引一条射线扫过积分域来得到 $\theta ,\rho$ 的范围.

十、无穷级数

1.常数项级数

级数的概念与性质

设 $\left\{u_n\right\}$ 是一数列，则表达式

$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n=u_1+u_2+\cdots+u_n+\cdots$$

称为无穷级数，简称级数．$S_n=\sum_{i=1}^n u_i$ 称为级数的部分和．若部分和数列 $\left\{S_n\right\}$ 有极限 $S$ ，即 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=$ $S$ ，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，并称这个极限值 $S$ 为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的和，记为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n=S$ ．如果极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n$ 不存在，则称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散．

级数的性质

（1）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛于 $S$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} k u_n$ 也收敛，且其和为 $k S$ ．

（2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 分别收敛于 $S, ~ T$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$ 收敛于 $S \pm T$ ．

（3）在级数中去掉，加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。一个级数的敛散性与其前有限项无关。

（4）收敛级数加括号仍收敛且和不变。若级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛。若级数加括号以后发散，则原级数一定发散。

（5）（级数收敛的必要条件）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ ．
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 不一定收敛．若 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n \neq 0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 一定发散．

级数的审敛准则

1．正项级数 $\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n, u_n \geqslant 0\right)$
基本定理：$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $\Leftrightarrow\left\{S_n\right\}$ 上有界．

（1）比较判别法．设 $u_n \leqslant v_n$ ，则
$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛．
$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散。

（2）比较法极限形式．设 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{v_n}=l(0 \leqslant l \leqslant+\infty)$ ，
若 $0<l<+\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 同敛散．

若 $l=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散．

若 $l=+\infty$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛．

常用比较对象

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\rho} \quad$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p \leqslant 1$ 时发散．

$\sum_{n=0}^{\infty} a q^n$ ，其中 $a$ 和 $q$ 为正数 当 $q<1$ 时收敛，当 $q \geqslant 1$ 时发散．

（3）比值法．若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n \begin{cases}\text { 收敛 }, & \rho<1, \\ \text { 发散 }, & \rho>1, \\ \text { 不一定 }, & \rho=1 .\end{cases}$

（4）根值法．若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{u_n}=\rho$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n \begin{cases}\text { 收敛，} & \rho<1, \\ \text { 发散 }, & \rho>1, \\ \text { 不一定 }, & \rho=1 .\end{cases}$

（5）积分判别法．设 $f(x)$ 是 $[1,+\infty)$ 上单调减，非负的连续函数，且 $a_n=f(n)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$与 $\int_1^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 同敛散．

2．交错级数$\left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n, u_n>0\right)$

莱布尼茨准则 ：若（1）$\left\{u_n\right\}$ 单调减，（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n$ 收敛．

$\{\left.u_n\right\}$ 单调减， $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$ 是级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_n$ 收敛的充分条件，但非必要条件．例如，交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n+(-1)^n}}$ 收敛，但 $u_n=\frac{1}{2^{n+(-1)^n}}$ 并不递减．

3．任意项级数（ $\sum_{n=1} u_n, u_n$ 为任意实数）

概念
（1）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 必收敛，此时称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛．

（2）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，但 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 发散，此时称级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛．

结论
（1）绝对收敛的级数一定收敛，即 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_n\right|$ 收敛 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛．

（2）条件收敛的级数的所有正项（或负项）构成的级数一定发散．
即：$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 条件收敛 $\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n+\left|u_n\right|}{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n-\left|u_n\right|}{2}$ 发散．

判别流程总结:

(1)判断 $a_n$ 是否趋向于零
如果否，不收敛

(2)判断是否是几何级数、压缩级数、自然级数或p级数
如果是，直接运用对应结论

如果是正项级数，进入3,4,5,6,7步，否则跳过

(3)能否应用直接比较判别法

直接比较判别法的规则是：

1．如果 $a_n \leq b_n$ ，其中 $\sum b_n$ 级数是收敛的，那么 $\sum a_n$ 也收敛
2．如果 $a_n \geq b_n$ ，其中 $\sum b_n$ 级数是发散的，那么 $\sum a_n$ 也发散。
应用直接比较判别法的技巧，是看 $a_n$ 能否通过简单地转换，变成已知的发散或收敛级数，把这个转换后的级数作为 $b_n$ ，利用直接比较判别法规则来判断 $a_n$ 收敛性。

(4)能否应用极限比较判别法

道理和(3)差不多，只是不好直接比较时求个极限

(5)能否应用积分判别法

积分判别法的规则是：
$a_n$ 是一个正数项序列，把 $a_n$ 的表达式看成一个连续的，正的，递减函数 $f(n)$（由于第一步中保证了 $a_n$ 是趋于 0 的，所以在这里只考虑 $a_n$ 是一个正数项序列就行），则有 $\sum_{n=N}^{\infty} a_n$ 和积分 $\int_N^{\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 同时收敛或同时发散。

应用积分判别法的技巧是观察 $a_n$ 能否简单地求积分。

(6)能否使用比值和根式判别法

如果 $\sum a_n$ 是一个正项级数，并且有

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho$$

1．如果 $\rho<1$ ，则级数收敛
2．如果 $\rho>1$
3．如果 $\rho=1$ ，则无法确定是收敛还是发散。
应用这种方法的技巧是观察 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 是否是一个足够简单的式子。一般应用在形如含有 $a^n$ 或 $n^a$ 或 $n!$的级数中。

(7)能否使用n次根判别法

如果 $a_n$ 是正项级数，且

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\rho$$

1．如果 $\rho<1$ ，则级数收敛
2．如果 $\rho>1$
3．如果 $\rho=1$ ，则无法确定是收敛还是发散。

一般应用在含有 $a^n$ 或 $n^a$ 的级数中。其中 $\sqrt[n]{a^n}$ 可以被简化为 $a$ ，而 $\sqrt[n]{n^a}=(\sqrt[n]{n})^a$ ，而根据 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ，因此 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^a}=\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt[n]{n})^a=1$ 。

(8)它是一个交错级数

假设交错级数为：

$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+\cdots$$

1．看 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 是否收敛，使用上面的方法去判断。如果它是收敛的，那么原级数一定是收敛的，而且是绝对收敛。如果不是收敛的，那么原级数有可能是条件收敛，或者是发散，转到下面第2步。
2．是否存在一个整数 $N$ ，使得 $u_N \geq u_{N+1} \geq \cdots$ ？如果不存在，则无法确定级数是收敛还是发散，如果存在，转到下面第3步
3．$u_n$ 是否趋向于 0 ，是的话级数收敛，否则发散。

2.幂级数

相关概念

定义 形如

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_n x^n+\cdots$$

或者

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n+\cdots$$

的函数项级数称为幂级数．

定理（阿贝尔定理）
（1）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=x_0\left(x_0 \neq 0\right)$ 处收敛，则当 $|x|<\left|x_0\right|$ 时，$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 绝对收敛．

（2）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x=x_0$ 处发散，则当 $|x|>\left|x_0\right|$ 时，$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 发散．

定理 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛性有且仅有以下 3 种可能：
（1）对任何 $x \in(-\infty,+\infty)$ 都收敛．

（2）仅在 $x=0$ 处收敛．

（3）存在一个正数 $R$ ，当 $|x|<R$ 时绝对收敛，当 $|x|>R$ 时发散．

定义 上述定理中的正数 $R$ 称为幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径．开区间 $(-R, R)$ 称为它的收敛区间．若再考察 $x= \pm R$ 时 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛性，可得出该级数收敛点的全体，称之为收敛域．

定理 如果 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$ ，则 $R=\frac{1}{\rho}$ ．

定理 如果 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\rho$ ，则 $R=\frac{1}{\rho}$ ．

幂级数的性质

设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$ ，和函数为 $S(x)$ ，则
（1）连续性．$S(x)$ 在收敛域上连续．
（2）可导性．$S(x)$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 内可导，且可逐项求导，即

$$S^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n x^n\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty} n a_n x^{n-1},|x|<R .$$

求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径．
（3）可积性．$S(x)$ 在收敛域上可积，且可逐项积分，即

$$\int_0^x S(t) \mathrm{d} t=\int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x a_n t^n \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} a_n x^{n+1}$$

积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径．

函数的幂级数展开

定义 设函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 上有定义，若

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$$

对任意的 $x \in\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 都成立，则称函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 上能展开为 $x-x_0$ 的幂级数．

由幂级数的性质可知，如果函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 上能展开为 $x-x_0$ 的幂级数，那么 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 上任意阶可导．

定理 如果函数 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 上能展开为 $x-x_0$ 的幂级数

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n$$

那么 $f(x)$ 在区间 $\left(x_0-R, x_0+R\right)$ 上任意阶可导，且其展开式是唯一的，

$$a_n=\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}(n=0,1,2, \cdots)$$

定义 若函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处任意阶可导，则称幂级数

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n$$

为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒级数．
特别地，$x_0=0$ 处的泰勒级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$ 称为函数 $f(x)$ 的麦克劳林级数．

函数展开的方法:

1.直接泰勒展开或变形（换元）后泰勒展开

2.利用逐项可导与可积，求完导后求和，再积分回去

3.傅立叶级数

设函数 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积，则称

$$\begin{aligned} & a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots, \\ & b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots \end{aligned}$$

为 $f(x)$ 的傅里叶系数，称级数

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$$

为 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数．记作

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) .$$

Diriclet收敛定理

设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上连续或只有有限个第一类间断点，且最多只有有限个极值点，则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $[-\pi, \pi]$ 上处处收敛，且收敛于
（1）$S(x)=f(x)$ ，当 $x$ 为 $f(x)$ 的连续点．

（2）$S(x)=\frac{f\left(x^{-}\right)+f\left(x^{+}\right)}{2}$ ，当 $x$ 为 $f(x)$ 的间断点．

（3）$S(x)=\frac{f\left((-\pi)^{+}\right)+f\left(\pi^{-}\right)}{2}$ ，当 $x= \pm \pi$ ．

十一、向量代数与空间解析几何、多元微分学

1.向量代数

混合积

（1）几何表示．$(\boldsymbol{a b c})=(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ．

（2）代数表示．$(\boldsymbol{a b c})=\left|\begin{array}{lll}a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z\end{array}\right|$ ．

（3）运算规律．
轮换对称性：$(a b c)=(b c a)=(c a b)$ ．
交换变号：$(a b c)=-(a c b)$ 。

（4）几何应用．

$$V_{\text {平行六面体 }}=|(a b c)| \text {. }$$

判定三向量共面： $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 共面 $\Leftrightarrow(\boldsymbol{a b c})=0$ ．

2.空间平面与直线

平面方程

（1）一般式．$A x+B y+C z+D=0, \quad \boldsymbol{n}=\{A, B, C\}$ ．

（2）点法式．$A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)+C\left(z-z_0\right)=0$ ．

（3）截距式．$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ ．

直线方程

（1）一般式．$\left\{\begin{array}{l}A_1 x+B_1 y+C_1 z+D_1=0, \\ A_2 x+B_2 y+C_2 z+D_2=0 .\end{array}\right.$

（2）对称式．$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ ．

（3）参数式．$x=x_0+l t, y=y_0+m t, z=z_0+n t$ ．

点到面的距离

点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的距离

$$d=\frac{\left|A x_0+B y_0+C z_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} .$$

点到直线的距离

点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 到直线 $\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$ 的距离为

$$d=\frac{\left|\left(x_1-x_0, y_1-y_0, z_1-z_0\right) \times(l, m, n)\right|}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}} .$$

两异面直线间距离

设两条异面直线 $l_1, l_2$ 分别过点 $M_1, M_2$ ，方向向量分别为 $v_1, v_2$ ，则 $l_1$ 与 $l_2$ 之间的距离为：

$$d=\frac{\left|\vec{M}_1 \vec{M}_2 \cdot \boldsymbol{v}_1 \times \boldsymbol{v}_2\right|}{\left|\boldsymbol{v}_1 \times \boldsymbol{v}_2\right|}$$

3.曲面与空间曲线

常见曲面

1.旋转面．一条平面曲线绕平面上一条直线旋转．
设 $L$ 是 $y O z$ 平面上一条曲线，其方程是 $\left\{\begin{array}{l}f(y, z)=0, \\ x=0,\end{array}\right.$ 则

（1）$L$ 绕 $y$ 轴旋转所得旋转面方程为 $f\left(y, \pm \sqrt{x^2+z^2}\right)=0$ 。

（2）$L$ 绕 $z$ 轴旋转所得旋转面方程为 $f\left( \pm \sqrt{x^2+y^2}, z\right)=0$ 。

2.柱面．平行于定直线并沿定曲线 $\Gamma$ 移动的直线 $L$ 形成的轨迹．

（1）准线为 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}f(x, y)=0, \\ z=0,\end{array}\right.$ 母线平行于 $z$ 轴的柱面方程为 $f(x, y)=0$ ；

（2）准线为 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{array}\right.$ 母线平行于 $z$ 轴的柱面方程为 $F(x, y, z)=0$ 和 $G(x, y$, $z)=0$ ．联立消去 $z$ 所得的二元方程 $H(x, y)=0$ ．

3.二次曲面．

（1）椭圆锥面． $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$ ，特别的：圆锥面 $x^2+y^2=z^2$ ．

（2）椭球面． $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ，特别的：球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ ．

（3）单叶双曲面．

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

（4）双叶双曲面．

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$

（5）椭圆抛物面．$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$ ，特别的：旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ ．

（6）双曲抛物面（马鞍面）．$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$ ．

4.空间曲线投影．
曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{array}\right.$ 消去 $z$ 得到关于 $x O y$ 面的投影柱面 $H(x, y)=0$ ．
曲线 $\Gamma$ 在 $x O y$ 面上的投影曲线方程为 $\left\{\begin{array}{l}H(x, y)=0, \\ z=0 .\end{array}\right.$

曲线的切平面与法线

（1）曲面 $F(x, y, z)=0$ ，法向量： $\boldsymbol{n}=\left(F_x^{\prime}, F_y^{\prime}, F_z^{\prime}\right)$ ．

（2）曲面 $z=f(x, y)$ ，法向量： $\boldsymbol{n}=\left(f_x^{\prime}, f_y^{\prime},-1\right)$ ．

曲线的切线与法平面

（1）曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=y(t), \\ z=z(t),\end{array}\right.$ 切向量：$\tau=\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)$ ．

（2）曲线 $\left\{\begin{array}{l}F(x, y, z)=0, \\ G(x, y, z)=0,\end{array}\right.$ 切向量：$\tau=\boldsymbol{n}_1 \times \boldsymbol{n}_2$ ，其中 $\boldsymbol{n}_1=\left(F_x^{\prime}, F_y^{\prime}, F_z^{\prime}\right), \boldsymbol{n}_2=\left(G_x^{\prime}, G_y^{\prime}, G_z^{\prime}\right)$ ．

十二、多元积分学

1.三重积分

定义

$$\iint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\lim _{d \rightarrow 0} \sum_{k=1}^n f\left(\xi_k, \eta_k, \zeta_k\right) \Delta v_k$$

直角坐标计算
（1）先一后二

设平行于 $z$ 且穿过闭区域 $\Omega$ 内部的直线与 $\Omega$ 的边界曲面 $S$ 最多两个交点．$\Omega$ 在 $x O y$ 面上的投影域为 $D_{x y}$，则

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iint_{D_{x y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z$$

（2）先二后一．

设空间区域 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in D_z, z_1 \leqslant z \leqslant z_2\right\}$ ，其中 $D_z$ 是垂直于 $z$ 轴的平面截闭区域 $\Omega$ 所得的平面闭区域，则

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\int_{z_1}^{z_2} \mathrm{~d} z \iint_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .$$

柱坐标计算

柱坐标与直角坐标的关系为

$$\begin{cases}x=r \cos \theta, & 0 \leqslant r<+\infty \\ y=r \sin \theta, & \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi \\ z=z, & -\infty<z<+\infty\end{cases}$$

体积微元
$\mathrm{d} v=r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} z$．

$$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} z .$$

球坐标计算

球坐标与直角坐标的关系为

$$\begin{cases}x=r \sin \varphi \cos \theta, & 0 \leqslant r<+\infty, \\ y=r \sin \varphi \sin \theta, & 0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, \\ z=r \cos \varphi, & 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi .\end{cases}$$

体积微元

$$\begin{aligned} & \quad \mathrm{d} v=r^2 \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta . \\ & \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v=\iiint_{\Omega} f(r \sin \varphi \cos \theta, r \sin \varphi \sin \theta, r \cos \varphi) r^2 \sin \varphi \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta . \end{aligned}$$

2.曲线积分

对弧长的线积分（第一类）
定义

$$\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i .$$

性质

$$\int_{L(A B)} f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{L(B A)} f(x, y) \mathrm{d} s \text {（与积分路径方向无关）．}$$

计算方法（平面）

1. 直接法．

（1）若 $L:\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=y(t),\end{array} \alpha \leqslant t \leqslant \beta\right.$ ，则

$$\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_a^\beta f[x(t), y(t)] \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$$

（2）若 $L: y=y(x), a \leqslant x \leqslant b$ ，则

$$\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_a^b f[x, y(x)] \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x .$$

（3）若 $L: r=r(\theta), \alpha \leqslant \theta \leqslant \beta$ ，则

$$\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_a^\beta f(r \cos \theta, r \sin \theta) \sqrt{r^2+r'^2} \mathrm{~d} \theta .$$

2.利用奇偶性．

（1）若积分曲线 $L$ 关于 $y$ 轴对称，则

$$\int_L f(x, y) \mathrm{d} s= \begin{cases}2 \int_{L_{x \geqslant 0}} f(x, y) \mathrm{d} s, & \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为偶函数, } \\ 0, & \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } x \text { 为奇函数. }\end{cases}$$

（2）若积分曲线 $L$ 关于 $x$ 轴对称，则

$$\int_L f(x, y) \mathrm{d} s= \begin{cases}2 \int_{L_{y \geqslant 0}} f(x, y) \mathrm{d} s, & \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为偶函数, } \\ 0, & \text { 当 } f(x, y) \text { 关于 } y \text { 为奇函数. }\end{cases}$$

3.利用对称性
若积分曲线关于直线 $y=x$ 对称，则 $\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_L f(y, x) \mathrm{d} s$ ．
特别的 $\int_L f(x) \mathrm{d} s=\int_L f(y) \mathrm{d} s$ ．

对空间线积分 $\int_L f(x, y, z) \mathrm{d} s$ ，通常化为定积分计算，即若曲线 $L$ 的方程为：$x=x(t)$ ，

$$\begin{aligned} & y=y(t), z=z(t)(\alpha \leqslant t \leqslant \beta) \text {, 则 } \\ & \int_L f(x, y, z) \mathrm{d} s=\int_a^\beta f[x(t), y(t), z(t)] \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)+z^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t . \end{aligned}$$

一型空间曲线积分的技巧：利用对称性、代入性

Eg.

曲线 L 为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=R^2 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，计算 $\int_L x y d s$

在 $l$ 上有 $x^2+y^2+(-x-y)^2=R^2$

$$\begin{aligned} \Rightarrow & x^2+y^2+x^2+y^2+2 x y=R^2 \\ \therefore & x y=\frac{R^2-2 x^2-2 y^2}{2}=\frac{R^2}{2}-\left(x^2+y^2\right) \\ \therefore I & =\oint_L\left[\frac{R^2}{2}-\left(x^2+y^2\right)\right] d s=\frac{R^2}{2} \oint_L d s-\oint_L\left(x^2+y^2\right) d s \\ = & \frac{R^2}{2} \cdot 2 \pi R-\frac{2}{3} \oint_L\left(x^2+y^2+z^2\right) d s \\ = & \pi R^3-\frac{2}{3} R^2 \cdot 2 \pi R=-\frac{1}{3} \pi R^3 \end{aligned}$$

对坐标的线积分（第二类）

定义

$$\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n\left[P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i+Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i\right] .$$

性质

$$\int_{L(\widehat{A B})} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-\int_{L(\widehat{B A})} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \quad \text {（与积分路径方向有关）．}$$

计算方法（平面）

（1）直接法．
设有光滑曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x=x(t), \\ y=y(t),\end{array} t \in[\alpha, \beta]\right.$ ，其起点和终点分别对应参数 $t=\alpha$ 和 $t=\beta, P(x$, $y), ~ Q(x, y)$ 在 $L$ 上连续，则

$$\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_a^\beta\left\{P[x(t), y(t)] x^{\prime}(t)+Q[x(t), y(t)] y^{\prime}(t)\right\} \mathrm{d} t$$

（2）格林公式。
设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} \sigma$$

其中 $L$ 为 $D$ 取正向的边界曲线。

（3）补线用格林公式（利用线积分与路径无关）。

线积分与路径无关的判定．

定理 设函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在单连通域 $D$ 上有一阶连续偏导数，则以下四条等价：

（A）线积分 $\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关．

（B）$\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ ，其中 $L$ 为 $D$ 中任一分段光滑闭曲线．

（C）$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \forall(x, y) \in D$ ．

（D）$P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\mathrm{d} F(x, y)$ ．

然后计算．

（A）改换路径计算．
一般是沿平行于坐标轴的直线积分．

$$\int_{\left(x_1, y_1\right)}^{\left(x_2 \cdot y_2\right)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{x_1}^{x_2} P\left(x, y_1\right) \mathrm{d} x+\int_{y_1}^{y_2} Q\left(x_2, y\right) \mathrm{d} y,$$

或

$$\int_{\left(x_1 \cdot y_1\right)}^{\left(x_2 \cdot y_2\right)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{y_1}^{y_2} Q\left(x_1, y\right) \mathrm{d} y+\int_{x_1}^{x_2} P\left(x, y_2\right) \mathrm{d} x .$$

（B）利用原函数计算．
设 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\mathrm{d} F(x, y)$ ，即 $F(x, y)$ 为 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 的原函数，则

$$\int_{\left(x_1 \cdot y_1\right)}^{\left(x_2 \cdot y_2\right)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=F\left(x_2, y_2\right)-F\left(x_1, y_1\right) .$$

求原函数方法：偏积分，凑微分．

两类线积分的联系

$$\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\oint_L(P \cos \alpha+Q \cos \beta) \mathrm{d} s .$$

计算方法（空间）

（1）直接法．
设分段光滑的曲线 $L$ 由参数方程 $x=x(t), y=y(t), z=z(t), t \in[\alpha, \beta]$ 给出，其起点和终点分别对应参数 $t=\alpha$ 和 $t=\beta, P, Q, R$ 在 $L$ 上连续，则

$$\begin{aligned} & \int_L P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z \\ = & \int_a^\beta\left\{P[x(t), y(t), z(t)] x^{\prime}(t)+Q[x(t), y(t), z(t)] y^{\prime}(t)+R[x(t), y(t), z(t)] z^{\prime}(t)\right\} \mathrm{d} t . \end{aligned}$$

（2）斯托克斯公式．
设 $L$ 为空间分段光滑的有向闭曲线，$\Sigma$ 是以 $L$ 为边界的分片光滑曲面，$L$ 的方向与 $\Sigma$ 的法方向符合右手法则，函数 $P, Q, R$ 在 $\Sigma$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\begin{aligned} & \oint_L P(x, y, z) \mathrm{d} x+Q(x, y, z) \mathrm{d} y+R(x, y, z) \mathrm{d} z \\ = & \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc} \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| \mathrm{d} S \\ = & \iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \end{aligned}$$

对于第二类曲线积分，如果存在奇点，可以考虑代入性质消除奇点。

例如$\oint_L \frac{(x+y) d x-(x-y) d y}{x^2+y^2}$ ，其中 L 为 $x^2+y^2=a^2$ 的正向

如果格林公式和代入性质都用不了，应当采用挖洞法.所求线积分是洞内外格林公式的面积分的和。

3.曲面积分

第一类面积分的计算

（1）直接法．
设曲面 $\Sigma: z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$ ，

$$\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{D_{x y}} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1+\left(z_x^{\prime}\right)^2+\left(z_y^{\prime}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$$

若曲面由方程 $x=x(y, z)$ 或 $y=y(z, x)$ 给出，也可类似地把对面积的面积分化为相应的二重积分。

（2）利用奇偶性。
若曲面 $\Sigma$ 关于 $x O y$ 面对称，则

$$\iint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S= \begin{cases}2 \iint_{\Sigma_{z \geqslant 0}} f(x, y, z) \mathrm{d} S, & \text { 当 } f(x, y, z) \text { 关于 } z \text { 为偶函数, } \\ 0, & \text { 当 } f(x, y, z) \text { 关于 } z \text { 为奇函数. }\end{cases}$$

若曲面 $\Sigma$ 关于 $y O z$ 面或 $z O x$ 面对称，也有类似的结论。

（3）利用对称性．

第二类面积分的计算

（1）直接法．
设有向曲面 $\Sigma: z=z(x, y),(x, y) \in D_{x y}$ ，则

$$\iint_{\Sigma} R(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y= \pm \iint_{D_{x y}} R[x, y, z(x, y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$

若有向曲面 $\Sigma$ 的法线向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角，即曲面的上侧，则上式取正号，否则取负号。

设有向曲面 $\Sigma: x=x(y, z),(y, z) \in D_{y z}$ ，则

$$\iint_{\Sigma} P(x, y, z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z= \pm \iint_{D_{y z}} P[x(y, z), y, z] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$$

若有向曲面 $\Sigma$ 的法线向量与 $x$ 轴正向夹角为锐角，即曲面的前侧，则上式取正号，否则取负号。

设有向曲面 $\Sigma: y=y(z, x),(z, x) \in D_{z x}$ ，则

$$\iint_{\Sigma} Q(x, y, z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x= \pm \iint_{D_{z x}} Q[x, y(z, x), z] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x$$

若有向曲面 $\Sigma$ 的法线向量与 $y$ 轴正向夹角为锐角，即曲面的右侧，则上式取正号，否则取负号．

（2）高斯公式．
设空间闭区域 $\Omega$ 由分片光滑闭曲面 $\Sigma$ 所围成，函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则有

$$\oiint_{\Sigma_{\text {外 }}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v .$$

（3）补面用高斯公式。如有奇点，用挖洞法。

两类面积分的联系

$$\iint_{\Sigma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S=\iint_{\Sigma}(P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y) .$$